![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Надо будет почитать -- "Koszul duality for Lie algebroids"
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870819303603
https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.106750
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870819303603
https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.106750
https://arxiv.org/abs/1909.12203
Можно сказать, что эта статья, появившаяся теперь на Архиве -- часть серии из трех работ про приложения контрамодулей к гипотезе Енокса. Хронологически она последняя, третья -- но логически вторая. Первая и третья статьи серии (с другими коллективами авторов) были обнародованы в июле -- https://arxiv.org/abs/1807.10671 , https://arxiv.org/abs/1907.05537
С другой стороны, можно сказать, что эта имеющая совершенно самостоятельное значение работа поднимает три сюжета: 1. топологическое/контрамодульное обобщение классической теории ассоциативных колец, начиная с теоремы Веддербёрна-Артина и продолжая диссертацией Басса, 2. топологическая интерпретация современных результатов теории разложения модулей в бесконечные прямые суммы, и 3. линейные топологии на аддитивных категориях.
Скажем, есть знаменитая теорема Говорова-Лазара о плоских модулях: модуль над ассоциативным кольцом плоский тогда и только тогда, когда он является направленным прямым пределом проективных модулей (или даже конечно-порожденных свободных модулей). В теории контрамодулей над топологическими кольцами, есть понятие плоского контрамодуля -- это такой, контратензорное произведение с которым является точным функтором на категории дискретных модулей.
Верен ли аналог теоремы Говорова-Лазара для контрамодулей, науке неизвестно. Легко видеть, что направленные прямые пределы проективных контрамодулей плоски, но обратная импликация -- открытый вопрос. Однако в этой только что обнародованной статье доказывается следующее: если над каким-то топологическим кольцом все направленные прямые пределы проективных контрамодулей проективны, то и все вообще плоские контрамодули проективны. Более того, дается полное описание таких топологических колец.
С другой стороны, обсуждается связь между понятиями полупростой и расщепимой абелевой категории: расщепимая -- это в которой все короткие точные последовательности расщепимы, а полупростая (более сильное условие) -- это в которой все объекты являются прямыми суммами неприводимых. Доказывается, что если расщепимая абелева категория топологизируема, то она полупроста.
Оба результата, сформулированные в предыдущих двух абзацах, являются неожиданными примерами "обратных приложений": их доказательства основаны на продвинутых результатах современной теории разложения модулей в бесконечные прямые суммы. Обычно хочется, чтобы новые понятия позволяли решать открытые проблемы старых теорий, но тут старая теория позволяет доказывать красивые теоремы про новые понятия.
"Прямые приложения" (новые, по-видимому, результаты теории разложения модулей в бесконечные прямые суммы, доказанные с помощью топологических колец и контрамодулей) в статье тоже есть.
Это самая важная моя работа, сделанная в 2018-19 учебном году, уже после переезда в Прагу.
Можно сказать, что эта статья, появившаяся теперь на Архиве -- часть серии из трех работ про приложения контрамодулей к гипотезе Енокса. Хронологически она последняя, третья -- но логически вторая. Первая и третья статьи серии (с другими коллективами авторов) были обнародованы в июле -- https://arxiv.org/abs/1807.10671 , https://arxiv.org/abs/1907.05537
С другой стороны, можно сказать, что эта имеющая совершенно самостоятельное значение работа поднимает три сюжета: 1. топологическое/контрамодульное обобщение классической теории ассоциативных колец, начиная с теоремы Веддербёрна-Артина и продолжая диссертацией Басса, 2. топологическая интерпретация современных результатов теории разложения модулей в бесконечные прямые суммы, и 3. линейные топологии на аддитивных категориях.
Скажем, есть знаменитая теорема Говорова-Лазара о плоских модулях: модуль над ассоциативным кольцом плоский тогда и только тогда, когда он является направленным прямым пределом проективных модулей (или даже конечно-порожденных свободных модулей). В теории контрамодулей над топологическими кольцами, есть понятие плоского контрамодуля -- это такой, контратензорное произведение с которым является точным функтором на категории дискретных модулей.
Верен ли аналог теоремы Говорова-Лазара для контрамодулей, науке неизвестно. Легко видеть, что направленные прямые пределы проективных контрамодулей плоски, но обратная импликация -- открытый вопрос. Однако в этой только что обнародованной статье доказывается следующее: если над каким-то топологическим кольцом все направленные прямые пределы проективных контрамодулей проективны, то и все вообще плоские контрамодули проективны. Более того, дается полное описание таких топологических колец.
С другой стороны, обсуждается связь между понятиями полупростой и расщепимой абелевой категории: расщепимая -- это в которой все короткие точные последовательности расщепимы, а полупростая (более сильное условие) -- это в которой все объекты являются прямыми суммами неприводимых. Доказывается, что если расщепимая абелева категория топологизируема, то она полупроста.
Оба результата, сформулированные в предыдущих двух абзацах, являются неожиданными примерами "обратных приложений": их доказательства основаны на продвинутых результатах современной теории разложения модулей в бесконечные прямые суммы. Обычно хочется, чтобы новые понятия позволяли решать открытые проблемы старых теорий, но тут старая теория позволяет доказывать красивые теоремы про новые понятия.
"Прямые приложения" (новые, по-видимому, результаты теории разложения модулей в бесконечные прямые суммы, доказанные с помощью топологических колец и контрамодулей) в статье тоже есть.
Это самая важная моя работа, сделанная в 2018-19 учебном году, уже после переезда в Прагу.
Любая квази-контранетерова слева коалгебра является квази-конетеровой справа. И я понятия не имею, верно ли обратное.
Свойства артиновости и когерентности для комодулей и контрамодулей эквивалентны, в подходящем контексте. То ж и квази-кокогерентность. Про нетеровость и квази-нетеровость известно только, что контра-версия влечет ко-.
Убей меня Бог, если я мог в юности предположить, что на склоне лет буду страдать подобной фигней. Но положение "эксперта по коалгебрам" обязывает.
Свойства артиновости и когерентности для комодулей и контрамодулей эквивалентны, в подходящем контексте. То ж и квази-кокогерентность. Про нетеровость и квази-нетеровость известно только, что контра-версия влечет ко-.
Убей меня Бог, если я мог в юности предположить, что на склоне лет буду страдать подобной фигней. Но положение "эксперта по коалгебрам" обязывает.
Гладкая двойственность
Aug. 23rd, 2019 06:32 pmВ целях удовлетворения любопытства рецензента и возможных единолюбопытствующих с ним читателей, а также в целях повышения доступности работы для широкой аудитории и т.д., было решено расширить ее объем примерно вдвое, добавив объяснения разных простых вещей, очевидных вещей, неочевидных вещей, сложных вещей и вещей, вызывающих любопытство.
В результате, в данный момент планируется к написанию подраздел работы, в котором будет говориться следующее. В полной общности, построение инволютивной двойственности возможно для полуалгебр над квази-кокогерентными коалгебрами. Но поскольку понятие квази-кокогерентности немножко сложновато, можно снизить общность и ограничиться случаем, когда коалгебра квази-контранетерова.
В общем, в плане доступности для широкой аудитории, одна уже только морфологическая конструкция упомянутых терминов говорит сама за себя.
В результате, в данный момент планируется к написанию подраздел работы, в котором будет говориться следующее. В полной общности, построение инволютивной двойственности возможно для полуалгебр над квази-кокогерентными коалгебрами. Но поскольку понятие квази-кокогерентности немножко сложновато, можно снизить общность и ограничиться случаем, когда коалгебра квази-контранетерова.
В общем, в плане доступности для широкой аудитории, одна уже только морфологическая конструкция упомянутых терминов говорит сама за себя.
Совершенные кольца
Aug. 22nd, 2019 12:33 amВесной 1999 года, придумав определение того, что стало потом называться контрапроизводной категорией, я задался самым естественным, как тогда казалось, в этом контексте вопросом: над какими кольцами бесконечные произведения проективных модулей являются проективными модулями? Я пошел в библиотеку IAS и обнаружил, что вопрос этот распадается на самом деле на два.
Во-первых, над какими кольцами бесконечные произведения плоских модулей плоски? Ответ на этот вопрос дается в статье Чейза 1960 года: такие кольца называются когерентными. Для того, чтобы произведения плоских левых R-модулей были плоски, необходимо и достаточно, чтобы кольцо R было когерентно справа (т.е., всякий конечно порожденный правый идеал был конечно представим).
Во-вторых, над какими кольцами все плоские модули проективны? Ответ на этот вопрос дается в статье Басса 1960 года: такие кольца называются совершенными. Все плоские левые R-модули проективны тогда и только тогда, когда всякий левый R-модуль имеет проективное покрытие (это двойственное понятие к инъективной оболочке), тогда и только тогда, когда все убывающие цепочки главных правых идеалов стабилизируются; в этом случае говорят, что кольцо R совершенно слева.
Из предыдущих двух абзацев ясно, что над всяким когерентным справа и совершенным слева кольцом бесконечные произведения проективных модулей проективны. Верно ли обратное? В статье Чейза доказывается, что ответ на этот вопрос положительный.
Выяснив все это весной 1999, я пришел к выводу, что типичными примерами колец, над которыми произведения проективных левых модулей проективны, являются артиновы справа кольца: они и совершенны с обеих сторон, и когерентны справа. Других примеров в общем-то почти и нет (думал я тогда): класс совершенных колец довольно узкий, там не развернешься. Открытие это было довольно огорчительным, но ничего не поделаешь.
Прошло три года. Летом 2002 я размышлял о том, как построить теорию полубесконечных гомологий и когомологий того, что стало потом называться полуассоциативными полуалгебрами над коалгебрами над полями. Теория эта должна была включать триангулированную эквивалентность между тем, что теперь называется полупроизводными категориями полумодулей и полуконтрамодулей. Доказательство этой эквивалентности требовало некоторой конструкции резольвент.
Вопрос уперся в то, что нужно было обобщить на бесконечномерные коалгебры частный случай теоремы Басса: плоский модуль над конечномерной алгеброй проективен. Требовалось доказать, что контраплоский контрамодуль над произвольной коалгеброй проективен. Доказательство этого мне придумать тогда не удалось. В том, что стало называться моими "летними письмами 2002 года о полубесконечной гомологической алгебре" построение этого куска теории было намечено по модулю соответствующей гипотезы.
Прошло еще почти четыре года, и весной 2006 я вернулся к этому вопросу. К счастью, у меня был тогда доступ в библиотеку Стекловки, куда я и направился снова читать статью Басса. Необходимое доказательство было построено и вошло в монографию по полубесконечной гомологической алгебре, которая вышла из печати еще через четыре года, осенью 2010.
Тем временем, весной 2009 я сообразил, что для целей контрапроизводной категории не обязательно нужно, чтобы произведения проективных модулей были проективны, а достаточно, чтобы произведения проективных модулей имели конечную проективную размерность. Например, нередко бывает, что произведения проективных модулей плоски (т.е., кольцо когерентно) и плоские модули имеют конечную проективную размерность. В частности, нетеровы коммутативные кольца конечной размерности Крулля обладают этим последним свойством. То есть, собственно, для изначальной цели 1999 года совершенные кольца как бы даже и не очень нужны.
На дворе лето 2019. Я по-прежнему размышляю и пишу про совершенные кольца (почти совершенные кольца, просовершенные кольца, топологически совершенные кольца, локально совершенные кольца...) и по-прежнему ссылаюсь на статью Басса. Пора б уж и перестать? Не знаю, возможно. Но всему свое время. Двадцать лет назад совершенные кольца казались мне экзотическим сюжетом. Сегодня я вижу, что в теории колец и модулей они возникают повсюду.
Во-первых, над какими кольцами бесконечные произведения плоских модулей плоски? Ответ на этот вопрос дается в статье Чейза 1960 года: такие кольца называются когерентными. Для того, чтобы произведения плоских левых R-модулей были плоски, необходимо и достаточно, чтобы кольцо R было когерентно справа (т.е., всякий конечно порожденный правый идеал был конечно представим).
Во-вторых, над какими кольцами все плоские модули проективны? Ответ на этот вопрос дается в статье Басса 1960 года: такие кольца называются совершенными. Все плоские левые R-модули проективны тогда и только тогда, когда всякий левый R-модуль имеет проективное покрытие (это двойственное понятие к инъективной оболочке), тогда и только тогда, когда все убывающие цепочки главных правых идеалов стабилизируются; в этом случае говорят, что кольцо R совершенно слева.
Из предыдущих двух абзацев ясно, что над всяким когерентным справа и совершенным слева кольцом бесконечные произведения проективных модулей проективны. Верно ли обратное? В статье Чейза доказывается, что ответ на этот вопрос положительный.
Выяснив все это весной 1999, я пришел к выводу, что типичными примерами колец, над которыми произведения проективных левых модулей проективны, являются артиновы справа кольца: они и совершенны с обеих сторон, и когерентны справа. Других примеров в общем-то почти и нет (думал я тогда): класс совершенных колец довольно узкий, там не развернешься. Открытие это было довольно огорчительным, но ничего не поделаешь.
Прошло три года. Летом 2002 я размышлял о том, как построить теорию полубесконечных гомологий и когомологий того, что стало потом называться полуассоциативными полуалгебрами над коалгебрами над полями. Теория эта должна была включать триангулированную эквивалентность между тем, что теперь называется полупроизводными категориями полумодулей и полуконтрамодулей. Доказательство этой эквивалентности требовало некоторой конструкции резольвент.
Вопрос уперся в то, что нужно было обобщить на бесконечномерные коалгебры частный случай теоремы Басса: плоский модуль над конечномерной алгеброй проективен. Требовалось доказать, что контраплоский контрамодуль над произвольной коалгеброй проективен. Доказательство этого мне придумать тогда не удалось. В том, что стало называться моими "летними письмами 2002 года о полубесконечной гомологической алгебре" построение этого куска теории было намечено по модулю соответствующей гипотезы.
Прошло еще почти четыре года, и весной 2006 я вернулся к этому вопросу. К счастью, у меня был тогда доступ в библиотеку Стекловки, куда я и направился снова читать статью Басса. Необходимое доказательство было построено и вошло в монографию по полубесконечной гомологической алгебре, которая вышла из печати еще через четыре года, осенью 2010.
Тем временем, весной 2009 я сообразил, что для целей контрапроизводной категории не обязательно нужно, чтобы произведения проективных модулей были проективны, а достаточно, чтобы произведения проективных модулей имели конечную проективную размерность. Например, нередко бывает, что произведения проективных модулей плоски (т.е., кольцо когерентно) и плоские модули имеют конечную проективную размерность. В частности, нетеровы коммутативные кольца конечной размерности Крулля обладают этим последним свойством. То есть, собственно, для изначальной цели 1999 года совершенные кольца как бы даже и не очень нужны.
На дворе лето 2019. Я по-прежнему размышляю и пишу про совершенные кольца (почти совершенные кольца, просовершенные кольца, топологически совершенные кольца, локально совершенные кольца...) и по-прежнему ссылаюсь на статью Басса. Пора б уж и перестать? Не знаю, возможно. Но всему свое время. Двадцать лет назад совершенные кольца казались мне экзотическим сюжетом. Сегодня я вижу, что в теории колец и модулей они возникают повсюду.
Есть, или вернее сказать, должна бы быть (начинается, скоро будет) такая деятельность -- обобщение на контрамодули над топологическими кольцами результатов классической теории ассоциативных колец и модулей над ними.
Пример несложного результата классической теории ассоциативных колец: если R -- ассоциативное кольцо (с единицей), J ⊂ R -- его радикал Джекобсона, и P ≠ 0 -- проективный левый R-модуль, то JP ≠ P. Такая лемма Накаямы для бесконечно порожденных, зато проективных модулей. См. диссертацию Басса, H. Bass "Finitistic dimension and a homological generalization of semi-primary rings", Trans. AMS 95 (1960), Proposition 2.7.
Пусть теперь S -- полное отделимое топологическое ассоциативное кольцо (с единицей), в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля. Топологическим радикалом Джекобсона H топологического кольца S называется пересечение всех его открытых максимальных правых идеалов (упражнение: покажите, что H -- замкнутый двусторонний идеал в S, и что H ≠ S, если S ≠ 0).
Для любого левого S-контрамодуля C и замкнутой аддитивной подкруппы A ⊂ S, будем обозначать через A×C ⊂ C образ композиции отображдений A[[C]] → S[[C]] → C, где S[[C]] → C -- отображение контрадействия (задающее структуру S-контрамодуля на C) и A[[C]] → S[[C]] -- естественное вложение.
Пусть P -- ненулевой проективный левый S-контрамодуль. Можно ли утверждать, что H×P ≠ P?
Случай, когда у S есть база окрестностей нуля, состоящая из двусторонних идеалов, легко сводится к случаю дискретного кольца R (т.е., к теореме Басса). См. в этой связи препринт https://arxiv.org/abs/1807.10671v2 , Lemma 6.9. Но уже случай топологического кольца S со счетной базой, состоящей из открытых правых идеалов, является открытой проблемой. Хотя про такие топологические кольца довольно много известно уже, вообще-то -- но этот вопрос открыт.
Пример несложного результата классической теории ассоциативных колец: если R -- ассоциативное кольцо (с единицей), J ⊂ R -- его радикал Джекобсона, и P ≠ 0 -- проективный левый R-модуль, то JP ≠ P. Такая лемма Накаямы для бесконечно порожденных, зато проективных модулей. См. диссертацию Басса, H. Bass "Finitistic dimension and a homological generalization of semi-primary rings", Trans. AMS 95 (1960), Proposition 2.7.
Пусть теперь S -- полное отделимое топологическое ассоциативное кольцо (с единицей), в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля. Топологическим радикалом Джекобсона H топологического кольца S называется пересечение всех его открытых максимальных правых идеалов (упражнение: покажите, что H -- замкнутый двусторонний идеал в S, и что H ≠ S, если S ≠ 0).
Для любого левого S-контрамодуля C и замкнутой аддитивной подкруппы A ⊂ S, будем обозначать через A×C ⊂ C образ композиции отображдений A[[C]] → S[[C]] → C, где S[[C]] → C -- отображение контрадействия (задающее структуру S-контрамодуля на C) и A[[C]] → S[[C]] -- естественное вложение.
Пусть P -- ненулевой проективный левый S-контрамодуль. Можно ли утверждать, что H×P ≠ P?
Случай, когда у S есть база окрестностей нуля, состоящая из двусторонних идеалов, легко сводится к случаю дискретного кольца R (т.е., к теореме Басса). См. в этой связи препринт https://arxiv.org/abs/1807.10671v2 , Lemma 6.9. Но уже случай топологического кольца S со счетной базой, состоящей из открытых правых идеалов, является открытой проблемой. Хотя про такие топологические кольца довольно много известно уже, вообще-то -- но этот вопрос открыт.
К предыдущему
Jul. 12th, 2019 03:32 amПервая версия этой статьи была в основном придумана в марте 2017 в Хайфе под влиянием полученной из журнала Journal of Algebra and its Applications рецензии на предыдущую мою работу про эквивалентности Матлиса. В апреле 2017 в Падуе эти соображения были записаны в моем любимом жанре математического письма, и вопрос написания статьи на основе этих заметок встал на повестку дня.
Летом 2018 года этот сюжет попал в орбиту нашей более широкой совместной деятельности. В июле 2018 в Хайфе текст был переработан (концепция усовершенствована, результаты обобщены, один новый важный результат добавился) -- и включен в состав длиннющего препринта "про все на свете". Теперь, наконец, эта работа оформилась в виде отдельного архивного препринта, который мы надеемся вскоре послать в какой-нибудь журнал. Под конец добавился пример с колчаном Кронекера.
Что мне дороже всего в этой работе? Что в ней появляется слово "u-комодуль", где u обозначает гомологический эпиморфизм ассоциативных колец, имеющий плоскую размерность единица с подходящей стороны. Тем самым фундаментальный, как мне кажется, вопрос "что такое комодульная категория, в абстрактном общем виде?" встает в повестку дня. Для контрамодулей это по нынешним временам гораздо более понятно.
Летом 2018 года этот сюжет попал в орбиту нашей более широкой совместной деятельности. В июле 2018 в Хайфе текст был переработан (концепция усовершенствована, результаты обобщены, один новый важный результат добавился) -- и включен в состав длиннющего препринта "про все на свете". Теперь, наконец, эта работа оформилась в виде отдельного архивного препринта, который мы надеемся вскоре послать в какой-нибудь журнал. Под конец добавился пример с колчаном Кронекера.
Что мне дороже всего в этой работе? Что в ней появляется слово "u-комодуль", где u обозначает гомологический эпиморфизм ассоциативных колец, имеющий плоскую размерность единица с подходящей стороны. Тем самым фундаментальный, как мне кажется, вопрос "что такое комодульная категория, в абстрактном общем виде?" встает в повестку дня. Для контрамодулей это по нынешним временам гораздо более понятно.
и они никогда не наскучат: смотреть на горящий огонь, текущую воду и чужую работу, а также бросать вызов ассоциирующимся с истеблишментом гражданам демонстративным отказом шагать в строю, который они воображают себе, что возглавляют.
(Вопрос жизни: неужели без меня не достаточно желающих шагать в этом вашем строю? -- Ответ: с точки зрения граждан, воображающих себя во главе строя, шагающих за ними всегда недостаточно.)
В промежутках между этими увлекательными занятиями, однако, надо работать. Например, я тут обнаружил, что классический функтор co-hom Такеучи (не путать с моим и некоторых других авторов функтором Cohom) есть просто контратензорное произведение одного аргумента (скажем, правого комодуля) на двойственное векторное пространство к другому (тоже правому комодулю). Двойственное векторное пространство к правому комодулю есть левый контрамодуль, и его можно контратензорно помножить на правый комодуль.
(Вопрос жизни: неужели без меня не достаточно желающих шагать в этом вашем строю? -- Ответ: с точки зрения граждан, воображающих себя во главе строя, шагающих за ними всегда недостаточно.)
В промежутках между этими увлекательными занятиями, однако, надо работать. Например, я тут обнаружил, что классический функтор co-hom Такеучи (не путать с моим и некоторых других авторов функтором Cohom) есть просто контратензорное произведение одного аргумента (скажем, правого комодуля) на двойственное векторное пространство к другому (тоже правому комодулю). Двойственное векторное пространство к правому комодулю есть левый контрамодуль, и его можно контратензорно помножить на правый комодуль.
К предыдущему (неподзамочному)
Jul. 3rd, 2019 02:08 amКомодульно-контрамодульное соответствие родилось из теории представлений бесконечномерных алгебр Ли, как результат абстрагирования феномена двойственности между представлениями Верма алгебры Вирасоро (и ей подобных) на дополнительных уровнях. В моих работах десятилетней давности это было обобщено с бесконечномерных алгебр Ли довольно специального вида до ассоциативных алгебраических структур намного более общего вида -- коалгебр, коколец и полуалгебр.
Работа про тильтинго-котильтинговое соответствие связывает этот сюжет с другим традиционным разделом теории представлений, выросшим из науки про представления конечномерных алгебр (колчанов и т.д.). Одновременно она делает еще один шаг на пути обобщения и абстрагирования, перенося предмет в контекст абелевых категорий. Тильтинго-котильтинговое соответствие, как оно сформулировано в нашей работе (а также сопутствующей ей работе про бесконечность-тильтинг) -- это соответствие между абелевыми категориями с некоторыми дополнительными данными.
Собственно, фундаментальный факт состоит в том, что наряду со знакомыми и привычными каждому гомологическому алгебраисту абелевыми категориями Гротендика, есть другой важный класс абелевых категорий, в каком-то смысле (только не спрашивайте меня, что эти слова означают...) "ковариантно двойственный". Это класс всех локально представимых абелевых категорий с достаточным количеством проективных объектов. Комодули обычно образуют категории Гротендика, а контрамодули обычно образуют локально представимые абелевы категории с достаточным количеством проективных объектов.
Комодульно-контрамодульное соответствие -- это такое явление природы в математике. (Полезно научиться не путать его с кошулевой двойственностью, которая есть другое и более сложное явление природы в том же ряду.) Работа про тильтинго-котильтинговое соответствие, выходящая теперь из печати, существенно проясняет и расширяет наш взгляд на это явление.
Работа про тильтинго-котильтинговое соответствие связывает этот сюжет с другим традиционным разделом теории представлений, выросшим из науки про представления конечномерных алгебр (колчанов и т.д.). Одновременно она делает еще один шаг на пути обобщения и абстрагирования, перенося предмет в контекст абелевых категорий. Тильтинго-котильтинговое соответствие, как оно сформулировано в нашей работе (а также сопутствующей ей работе про бесконечность-тильтинг) -- это соответствие между абелевыми категориями с некоторыми дополнительными данными.
Собственно, фундаментальный факт состоит в том, что наряду со знакомыми и привычными каждому гомологическому алгебраисту абелевыми категориями Гротендика, есть другой важный класс абелевых категорий, в каком-то смысле (только не спрашивайте меня, что эти слова означают...) "ковариантно двойственный". Это класс всех локально представимых абелевых категорий с достаточным количеством проективных объектов. Комодули обычно образуют категории Гротендика, а контрамодули обычно образуют локально представимые абелевы категории с достаточным количеством проективных объектов.
Комодульно-контрамодульное соответствие -- это такое явление природы в математике. (Полезно научиться не путать его с кошулевой двойственностью, которая есть другое и более сложное явление природы в том же ряду.) Работа про тильтинго-котильтинговое соответствие, выходящая теперь из печати, существенно проясняет и расширяет наш взгляд на это явление.
К предыдущему
Jul. 2nd, 2019 04:22 amТаким образом, я несколько неожиданно для себя заделался специалистом по плоским модулям. Хотя, конечно, в известной мере это было предсказуемо еще десять-двенадцать лет назад (когда я писал полубесконечную монографию).
Более того, что уж совсем неожиданно, я оказался специалистом конкретно по плоским модулям проективной размерности 1. Все мои работы по плоским модулям являются на самом деле работами по плоским модулям проективной размерности 1.
Всего их уже шесть или семь, таких работ у меня. Есть даже одна статья про такие модули над некоммутативными кольцами!
Собственно, в этих работах обсуждаются два вопроса:
1. как доказать, что некоторые конкретные плоские модули имеют проективную размерность не больше единицы; и
2. как явно описать некоторые классы плоских модулей проективной размерности единица.
Хорошо бы научиться описывать плоские модули проективной размерности два, но этого мы пока не умеем. Собственно, даже и плоские модули проективной размерности один мы умеем описывать не все, а только некоторые.
При этом плоские модули проективной размерности один встречаются довольно часто. Например, все счетно представимые плоские модули (над любым кольцом) имеют проективную размерность не больше единицы. В частности это значит, что многие плоские модули, встречающиеся в алгебраической геометрии, имеют проективную размерность один.
Более того, что уж совсем неожиданно, я оказался специалистом конкретно по плоским модулям проективной размерности 1. Все мои работы по плоским модулям являются на самом деле работами по плоским модулям проективной размерности 1.
Всего их уже шесть или семь, таких работ у меня. Есть даже одна статья про такие модули над некоммутативными кольцами!
Собственно, в этих работах обсуждаются два вопроса:
1. как доказать, что некоторые конкретные плоские модули имеют проективную размерность не больше единицы; и
2. как явно описать некоторые классы плоских модулей проективной размерности единица.
Хорошо бы научиться описывать плоские модули проективной размерности два, но этого мы пока не умеем. Собственно, даже и плоские модули проективной размерности один мы умеем описывать не все, а только некоторые.
При этом плоские модули проективной размерности один встречаются довольно часто. Например, все счетно представимые плоские модули (над любым кольцом) имеют проективную размерность не больше единицы. В частности это значит, что многие плоские модули, встречающиеся в алгебраической геометрии, имеют проективную размерность один.
Если плоский модуль имеет проективное покрытие, то он проективен. Недлинное, но несколькое замысловатое доказательство этого факта можно найти в книжке Foundations of Module and Ring Theory: A Handbook for Study and Research. Robert Wisbauer, University of Duesseldorf, 1991. Gordon and Breach Science Publishers, Reading, UK. Section 36: Flat modules, subsection 36.3: Pure submodules of projective modules.
Derived complete modules
May. 15th, 2019 11:01 amhttps://mathoverflow.net/questions/331487/derived-nakayama-for-complete-modules/331501#331501 (see also https://mathoverflow.net/questions/316147/is-there-an-adjoint-to-the-inclusion-of-i-adically-complete-modules-to-all-modul/316197#316197 )
The most important fact about derived complete modules is that they form an abelian category. My feeling is that the "derived complete modules" terminology serves to hide this fact, while my "contramodules" terminology (while certainly clumsy in some usages) is intended to emphasize the fact.
Anyway, I expect to see a lot of confusion around this concept in the near future. I wish my writings could do a better job of clearing up the mess for the rare dedicated reader.
The most important fact about derived complete modules is that they form an abelian category. My feeling is that the "derived complete modules" terminology serves to hide this fact, while my "contramodules" terminology (while certainly clumsy in some usages) is intended to emphasize the fact.
Anyway, I expect to see a lot of confusion around this concept in the near future. I wish my writings could do a better job of clearing up the mess for the rare dedicated reader.
Придумал во время вечерней прогулки контрпример, теперь записываю. Это пример правого модуля F над кольцом R со следующими свойствами:
0. R является алгеброй над полем k;
1. F является модулем Шура над алгеброй R, т.е., у F нет R-линейных эндоморфизмов, помимо умножений на скаляры из k;
2. R-модуль F плоский;
3. R-модуль F содержит в качестве собственного подмодуля ненулевой плоский (на самом деле, даже проективный) R-модуль P, причем фактормодуль F/P -- тоже плоский R-модуль.
Из условий 1 и 3 следует, что P не является прямым слагаемым в F. Таким образом, R-модуль F имеет совершенное разложение (= разложение в прямую сумму локально T-нильпотентного семейства модулей), состоящее из единственного прямого слагаемого F. Но в то же время, R-модуль F не сигма-чисто-расщепим (и даже не чисто-расщепим), т.к. он содержит чистый подмодуль P, который не отщепляется.
Конструкция состоит из двух шагов.
Шаг I. Рассмотрим следующую категорию представлений бесконечного колчана с соотношениями. Вершины колчана занумерованы неотрицательными целыми числами 0, 1, 2, ... Представлением колчана является последовательность k-векторных пространств V0, V1, V2, ... вместе с линейными отображениями fi: Vi−1 → Vi и pi: Vi → V0, где i > 0, удовлетворяющими соотношениям pififi−1...f2f1 = idV0 для всех i > 0.
Очевидно, существует "большое кольцо" (= предаддитивная малая категория) A с объектами, занумерованными неотрицательными целыми числами, такое что представления нашего колчана суть в точности левые A-модули (= ковариантные k-линейные функторы из A в k-векторные пространства). Наша ближайшая цель -- построить некоторый плоский правый A-модуль G и в нем проективный правый A-подмодуль Q, такой что фактормодуль G/Q тоже плоский.
Каждый правый A-модуль N задает функтор тензорного произведения M → N ⊗A M на категории левых A-модулей. Это соответствие интерпретирует категорию правых A-модулей как полную подкатегорию в категории k-линейных функторов из левых A-модулей в k-векторные пространства, состоящую в точности из всех функторов, сохраняющих копределы. Чтобы построить правые A-модули G и Q, мы просто укажем соответствующие функторы из левых A-модулей (= представлений нашего колчана) в векторные пространства.
Правый А-модуль G соответствует функтору, сопоставляющему всякому представлению нашего колчана (Vi) такое векторное пространство -- прямой предел последовательности V0 → V1 → V2 → ... с отображениями fi. Этот функтор точен, поэтому правый A-модуль G плоский.
Правый A-модуль Q соответствует функтору, сопоставлющему всякому представлению (Vi) векторное пространство V0. Очевидно, Q -- это свободный правый A-модуль с одной образующей, сидящей в вершине номер 0.
Естественное отображение из пространства V0 в прямой предел последовательности (Vi) соответствует морфизму правых А-модулей Q → G. Теперь мы замечаем, что отображение векторных пространств, о котором идет речь -- всегда инъективно (для любого представления нашего колчана с соотношениями). Дело в том, что отображение fifi−1...f2f1: V0 → Vi всегда инъективно, поскольку является сечением отображения pi: Vi → V0.
Морфизм модулей, индуцирующий мономорфизм функторов тензорного умножения на эти модули -- является, по определению, чистым мономорфизмом. Поскольку модуль G плоский, отсюда следует, что модуль G/Q плоский тоже.
Теперь нужно проверить самое нетривиальное свойство -- что у правого A-модуля G нет автоморфизмов, кроме умножений на скаляры. Для этого достаточно убедиться в том, что автоморфизмов, отличающихся от умножений на скаляры, нет у функтора, сопоставляющего представлению колчана прямой предел пространств Vi. Для этого можно, например, сосчитать пространство естественных преобразований Vn → indlimi Vi для каждого n, а потом перейти к проективному пределу по n.
Суть дела в том, что мы специально НЕ наложили на представления нашего колчана соотношения коммутативности треугольных диаграмм: композиция pi+1fi+1 не равна отображению pi (при i > 0). Поэтому пространство естественных преобразований Vn → indlimi Vi бесконечномерно (со счетным базисом) для всех n > 0, но после перехода к проективному пределу по n от всего этого богатства остается только одномерное пространство скаляров.
Чтобы попасть из Vn в прямой предел Vi, можно пройти по отображениям f из Vn в VN для какого-то N ≥ n, вернуться в V0 по отображению pN, и дальше есть каноническое отображение из V0 в прямой предел. Все эти отображения разные (линейно независимые, вообще говоря) при разных N, и все они исчезают после перехода к проективному пределу по n → ∞. Остается только элемент проективного предела по n, составленный из канонических отображений из Vn в прямой предел.
Шаг II. Всякой "большой алгебре" (= k-линейной малой категории) А сопоставляется k-алгебра R следующим образом: берется прямая сумма векторных пространств Ai,j по индексам i, j, пробегающим все объекты A. В тривиальном случае, когда в A только конечное число ненулевых объектов, этого достаточно. В интересном же случае, когда в A бесконечно много ненулевых объектов, так получается ассоциативная k-алгебра без единицы. Нужно формально добавить к ней единицу (взяв прямую сумму с одномерным k-векторным пространством, натянутым на добавляемую единицу).
Далее, всякому (скажем, правому) A-модулю N сопоставляется (тоже правый) R-модуль, равный прямой сумме пространств Ni по всем объектам i категории A. Это вполне строгий, точный функтор mod-A → mod-R, сохраняющий копределы.
Наконец, нужно заметить, что наш функтор mod-A → mod-R переводит свободный модуль с одной образующей, сидящей в произвольном объекте категории A, в проективный R-модуль (прямое слагаемое свободного R-модуля с одной образующей). Ввиду теоремы Говорова-Лазара (сохраняющей силу для модулей над "большими кольцами"), отсюда следует, что наш функтор переводит плоские A-модули в плоские R-модули.
Остается применить функтор mod-A → mod-R к А-модулю G с подмодулем Q, чтобы получить искомый R-модуль F с подмодулем P.
0. R является алгеброй над полем k;
1. F является модулем Шура над алгеброй R, т.е., у F нет R-линейных эндоморфизмов, помимо умножений на скаляры из k;
2. R-модуль F плоский;
3. R-модуль F содержит в качестве собственного подмодуля ненулевой плоский (на самом деле, даже проективный) R-модуль P, причем фактормодуль F/P -- тоже плоский R-модуль.
Из условий 1 и 3 следует, что P не является прямым слагаемым в F. Таким образом, R-модуль F имеет совершенное разложение (= разложение в прямую сумму локально T-нильпотентного семейства модулей), состоящее из единственного прямого слагаемого F. Но в то же время, R-модуль F не сигма-чисто-расщепим (и даже не чисто-расщепим), т.к. он содержит чистый подмодуль P, который не отщепляется.
Конструкция состоит из двух шагов.
Шаг I. Рассмотрим следующую категорию представлений бесконечного колчана с соотношениями. Вершины колчана занумерованы неотрицательными целыми числами 0, 1, 2, ... Представлением колчана является последовательность k-векторных пространств V0, V1, V2, ... вместе с линейными отображениями fi: Vi−1 → Vi и pi: Vi → V0, где i > 0, удовлетворяющими соотношениям pififi−1...f2f1 = idV0 для всех i > 0.
Очевидно, существует "большое кольцо" (= предаддитивная малая категория) A с объектами, занумерованными неотрицательными целыми числами, такое что представления нашего колчана суть в точности левые A-модули (= ковариантные k-линейные функторы из A в k-векторные пространства). Наша ближайшая цель -- построить некоторый плоский правый A-модуль G и в нем проективный правый A-подмодуль Q, такой что фактормодуль G/Q тоже плоский.
Каждый правый A-модуль N задает функтор тензорного произведения M → N ⊗A M на категории левых A-модулей. Это соответствие интерпретирует категорию правых A-модулей как полную подкатегорию в категории k-линейных функторов из левых A-модулей в k-векторные пространства, состоящую в точности из всех функторов, сохраняющих копределы. Чтобы построить правые A-модули G и Q, мы просто укажем соответствующие функторы из левых A-модулей (= представлений нашего колчана) в векторные пространства.
Правый А-модуль G соответствует функтору, сопоставляющему всякому представлению нашего колчана (Vi) такое векторное пространство -- прямой предел последовательности V0 → V1 → V2 → ... с отображениями fi. Этот функтор точен, поэтому правый A-модуль G плоский.
Правый A-модуль Q соответствует функтору, сопоставлющему всякому представлению (Vi) векторное пространство V0. Очевидно, Q -- это свободный правый A-модуль с одной образующей, сидящей в вершине номер 0.
Естественное отображение из пространства V0 в прямой предел последовательности (Vi) соответствует морфизму правых А-модулей Q → G. Теперь мы замечаем, что отображение векторных пространств, о котором идет речь -- всегда инъективно (для любого представления нашего колчана с соотношениями). Дело в том, что отображение fifi−1...f2f1: V0 → Vi всегда инъективно, поскольку является сечением отображения pi: Vi → V0.
Морфизм модулей, индуцирующий мономорфизм функторов тензорного умножения на эти модули -- является, по определению, чистым мономорфизмом. Поскольку модуль G плоский, отсюда следует, что модуль G/Q плоский тоже.
Теперь нужно проверить самое нетривиальное свойство -- что у правого A-модуля G нет автоморфизмов, кроме умножений на скаляры. Для этого достаточно убедиться в том, что автоморфизмов, отличающихся от умножений на скаляры, нет у функтора, сопоставляющего представлению колчана прямой предел пространств Vi. Для этого можно, например, сосчитать пространство естественных преобразований Vn → indlimi Vi для каждого n, а потом перейти к проективному пределу по n.
Суть дела в том, что мы специально НЕ наложили на представления нашего колчана соотношения коммутативности треугольных диаграмм: композиция pi+1fi+1 не равна отображению pi (при i > 0). Поэтому пространство естественных преобразований Vn → indlimi Vi бесконечномерно (со счетным базисом) для всех n > 0, но после перехода к проективному пределу по n от всего этого богатства остается только одномерное пространство скаляров.
Чтобы попасть из Vn в прямой предел Vi, можно пройти по отображениям f из Vn в VN для какого-то N ≥ n, вернуться в V0 по отображению pN, и дальше есть каноническое отображение из V0 в прямой предел. Все эти отображения разные (линейно независимые, вообще говоря) при разных N, и все они исчезают после перехода к проективному пределу по n → ∞. Остается только элемент проективного предела по n, составленный из канонических отображений из Vn в прямой предел.
Шаг II. Всякой "большой алгебре" (= k-линейной малой категории) А сопоставляется k-алгебра R следующим образом: берется прямая сумма векторных пространств Ai,j по индексам i, j, пробегающим все объекты A. В тривиальном случае, когда в A только конечное число ненулевых объектов, этого достаточно. В интересном же случае, когда в A бесконечно много ненулевых объектов, так получается ассоциативная k-алгебра без единицы. Нужно формально добавить к ней единицу (взяв прямую сумму с одномерным k-векторным пространством, натянутым на добавляемую единицу).
Далее, всякому (скажем, правому) A-модулю N сопоставляется (тоже правый) R-модуль, равный прямой сумме пространств Ni по всем объектам i категории A. Это вполне строгий, точный функтор mod-A → mod-R, сохраняющий копределы.
Наконец, нужно заметить, что наш функтор mod-A → mod-R переводит свободный модуль с одной образующей, сидящей в произвольном объекте категории A, в проективный R-модуль (прямое слагаемое свободного R-модуля с одной образующей). Ввиду теоремы Говорова-Лазара (сохраняющей силу для модулей над "большими кольцами"), отсюда следует, что наш функтор переводит плоские A-модули в плоские R-модули.
Остается применить функтор mod-A → mod-R к А-модулю G с подмодулем Q, чтобы получить искомый R-модуль F с подмодулем P.
Допустим, надо доказать, что всякое топологическое кольцо определенного класса можно получить как кольцо эндоморфизмов некоторого модуля, с естественной топологией на кольце эндоморфизмов. Как может выглядеть раздел статьи, посвященный доказательству этого факта?
Конечно, он начинается с полуторастраничного обсуждения вопроса о топологиях на кольцах эндоморфизмов функторов со значениями в категории абелевых групп. И в особенности, как бороться с теоретико-множественными трудностями, возникающими, если категория, из которой действуют такие функторы, большая. Обсуждения, целиком базирующегося на намного более абстрактной категорной технике, развитой в предшествующей работе того же автора.
А закончиться все это должно, естественно, явным предъявлением модуля, строящегося по топологическому кольцу. И что это за модуль, в сущности, вполне очевидно с самого начала...
Конечно, он начинается с полуторастраничного обсуждения вопроса о топологиях на кольцах эндоморфизмов функторов со значениями в категории абелевых групп. И в особенности, как бороться с теоретико-множественными трудностями, возникающими, если категория, из которой действуют такие функторы, большая. Обсуждения, целиком базирующегося на намного более абстрактной категорной технике, развитой в предшествующей работе того же автора.
А закончиться все это должно, естественно, явным предъявлением модуля, строящегося по топологическому кольцу. И что это за модуль, в сущности, вполне очевидно с самого начала...
Эрратум (впрочем, скорее Корригендум)
Jan. 16th, 2019 05:56 pmПо моему недосмотру, в конце стр. 85 в разделе 1.2 введения к статье https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2017.03.029 (архивная версия https://arxiv.org/abs/1512.08119 , середина стр.3) упущена пятая аксиома. Мне показалось, что она является частным случаем четвертой, но это не так. Необходимая пятая аксиома гласит:
(v) for any family of coefficients r ∈ T(S) and any element t ∈ R, one has ∑s∈S r(s)t = (∑s∈S r(s)) t.
При этом существование суммы в левой части равенства (т.е., суммируемость семейства s → r(s)t) является частным случаем аксиомы (iv), но само равенство таковым не является.
P.S. Провел несколько часов в первой половине дня сегодня, проверяя, что этих пяти аксиом уже достаточно и больше я ничего не упустил. Вроде, удалось успешно себя убедить в этом.
(v) for any family of coefficients r ∈ T(S) and any element t ∈ R, one has ∑s∈S r(s)t = (∑s∈S r(s)) t.
При этом существование суммы в левой части равенства (т.е., суммируемость семейства s → r(s)t) является частным случаем аксиомы (iv), но само равенство таковым не является.
P.S. Провел несколько часов в первой половине дня сегодня, проверяя, что этих пяти аксиом уже достаточно и больше я ничего не упустил. Вроде, удалось успешно себя убедить в этом.
Пусть X -- бесконечное множество и k -- поле. Докажите, что k-векторное пространство всех функций из X в k имеет размерность, равную мощности множества всех функций X → k. Другими словами, существует линейно независимое над k множество функций из X в k, мощность которого равна мощности множества всех функций X → k.
Задача по алгебре
Jan. 7th, 2019 01:12 pmВ ассоциативном кольце с единицей, для всякого элемента x, по меньшей мере, один из двух элементов x и 1−x обратим (возможно, оба, но хотя бы один). Показать, что множество всех необратимых элементов -- двусторонний идеал в этом кольце.
Такие кольца (в том числе, некоммутативные) называются локальными.
Такие кольца (в том числе, некоммутативные) называются локальными.
Когомологии как производный функтор
Dec. 24th, 2018 08:09 pmКогомологии группы есть правый производный функтор функтора инвариантов. Гомологии группы есть левый производный функтор функтора коинвариантов. Когомологии пучков есть правый производный функтор функтора глобальных сечений.
Все это сложновато. Попробуем попроще. Коядро морфизма есть правый производный функтор функтора ядра морфизма. Ядро морфизма есть левый производный функтор функтора коядра морфизма.
Это понятно; но нас интересуют не ядро или коядро, а, собственно, когомологии. Когомологии комплекса векторных пространств. Скажем, неограниченного с обеих сторон комплекса векторных пространств. Это производный функтор чего? И в каком смысле?
Вот он, несколько неожиданный ответ на этот вопрос: когомологии комплекса векторных пространств есть тейтовский двусторонний производный функтор функтора образа дифференциала.
Что значит "тейтовский производный функтор"? Это значит, что нужно использовать тот факт, что абелева категория комплексов векторных пространств фробениусова. Ее проективные объекты суть то же самое, что инъективные объекты, которые суть то же самое, что ацикличные (= стягиваемые) комплексы векторных пространств.
Образ дифференциала произвольного комплекса -- функтор несколько странный, но мы будем его применять только к ацикличным комплексам. Для ацикличного комплекса это прекрасный функтор (коциклов = кограниц).
Чтобы вычислить тейтовский производный функтор этого функтора на произвольном комплексе векторных пространств, нужно выбрать этому комплексу ацикличную двустороннюю резольвенту в категории комплексов, члены которой -- проективно-инъективные комплексы векторных пространств. Попросту говоря, выбрать любую проективную левую резольвенту, любую инъективную правую резольвенту, и составить их вместе, получив ацикличный комплекс. Применить к нему наш функтор и посчитать когомологии.
Это такое крайне тавтологическое утверждение. Но занятное.
А что делать, если комплексы не векторных пространств, а объектов какой-то абелевой категории? Производить предыдущую конструкцию в точной категории комплексов с почленно расщепимыми точными тройками. Эта точная категория (для любой даже не абелевой, а аддитивной категории) фробениусова, и ее проективно-инъективные объекты суть стягиваемые комплексы.
Если наша аддитивная категория содержит образы идемпотентных эндоморфизмов своих объектов, то на категории стягиваемых комплексов в ней определен функтор образа дифференциала. Для того, чтобы определить тейтовский производный функтор этого функтора на нашей точной категории комплексов, придется, конечно, предположить, что подлежащая категория абелева (просто, чтобы можно было посчитать когомологии на последнем шаге).
Все это сложновато. Попробуем попроще. Коядро морфизма есть правый производный функтор функтора ядра морфизма. Ядро морфизма есть левый производный функтор функтора коядра морфизма.
Это понятно; но нас интересуют не ядро или коядро, а, собственно, когомологии. Когомологии комплекса векторных пространств. Скажем, неограниченного с обеих сторон комплекса векторных пространств. Это производный функтор чего? И в каком смысле?
Вот он, несколько неожиданный ответ на этот вопрос: когомологии комплекса векторных пространств есть тейтовский двусторонний производный функтор функтора образа дифференциала.
Что значит "тейтовский производный функтор"? Это значит, что нужно использовать тот факт, что абелева категория комплексов векторных пространств фробениусова. Ее проективные объекты суть то же самое, что инъективные объекты, которые суть то же самое, что ацикличные (= стягиваемые) комплексы векторных пространств.
Образ дифференциала произвольного комплекса -- функтор несколько странный, но мы будем его применять только к ацикличным комплексам. Для ацикличного комплекса это прекрасный функтор (коциклов = кограниц).
Чтобы вычислить тейтовский производный функтор этого функтора на произвольном комплексе векторных пространств, нужно выбрать этому комплексу ацикличную двустороннюю резольвенту в категории комплексов, члены которой -- проективно-инъективные комплексы векторных пространств. Попросту говоря, выбрать любую проективную левую резольвенту, любую инъективную правую резольвенту, и составить их вместе, получив ацикличный комплекс. Применить к нему наш функтор и посчитать когомологии.
Это такое крайне тавтологическое утверждение. Но занятное.
А что делать, если комплексы не векторных пространств, а объектов какой-то абелевой категории? Производить предыдущую конструкцию в точной категории комплексов с почленно расщепимыми точными тройками. Эта точная категория (для любой даже не абелевой, а аддитивной категории) фробениусова, и ее проективно-инъективные объекты суть стягиваемые комплексы.
Если наша аддитивная категория содержит образы идемпотентных эндоморфизмов своих объектов, то на категории стягиваемых комплексов в ней определен функтор образа дифференциала. Для того, чтобы определить тейтовский производный функтор этого функтора на нашей точной категории комплексов, придется, конечно, предположить, что подлежащая категория абелева (просто, чтобы можно было посчитать когомологии на последнем шаге).
