Задача по алгебре

[posic]

В ассоциативном кольце с единицей, для всякого элемента x, по меньшей мере, один из двух элементов x и 1−x обратим (возможно, оба, но хотя бы один). Показать, что множество всех необратимых элементов -- двусторонний идеал в этом кольце.

Такие кольца (в том числе, некоммутативные) называются локальными.

Comments

[posic.livejournal.com]

https://www.facebook.com/posic/posts/2518746728140146

[arifulov-ph.livejournal.com]

Случай 1=0 проверить можно прямо, поэтому ниже 1 не 0.
Пусть в этом кольце некоторое произведение элементов xy обратимо: xy z = 1
Тогда yz x = yzxyz x
yzx(1-yzx) = 0. По нормальности хотя бы один из множителей обратим. Но если обратим (1-yzx), то домножая на его обратный справа имеем yzx=0, x=xyz x = z yzx=0, и xy=0 необратим. Значит, обратим yzx и по домножению на его обратный слева имеем yzx=1. Значит, x обратим. Точно так же y обратим. Из обратимости произведения следует обратимость множителей, значит, если хоть один множитель необратим, необратимо произведение. (Эту часть я увидел в комменте Дмитрия Румынина).

Чтобы доказать, что необратимые элементы образуют идеал, надо проверить, что сумма необратимых необратима. Пусть сумма x+y обратима.
Тогда 1=(x+y)^-1 x + (x+y)^-1 y. По нормальности хотя бы одно слагаемое справа обратимо.
После умножения этого слагаемого на (x+y) слева получается x или y, которое тогда обратимо. Значит, сумма необратима если необратимы оба слагаемых.

[posic.livejournal.com]

Да, верно. И радикал Джекобсона не нужен. Так гораздо лучше.