К предыдущему (неподзамочному)
Jul. 3rd, 2019 02:08 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicКомодульно-контрамодульное соответствие родилось из теории представлений бесконечномерных алгебр Ли, как результат абстрагирования феномена двойственности между представлениями Верма алгебры Вирасоро (и ей подобных) на дополнительных уровнях. В моих работах десятилетней давности это было обобщено с бесконечномерных алгебр Ли довольно специального вида до ассоциативных алгебраических структур намного более общего вида -- коалгебр, коколец и полуалгебр.
Работа про тильтинго-котильтинговое соответствие связывает этот сюжет с другим традиционным разделом теории представлений, выросшим из науки про представления конечномерных алгебр (колчанов и т.д.). Одновременно она делает еще один шаг на пути обобщения и абстрагирования, перенося предмет в контекст абелевых категорий. Тильтинго-котильтинговое соответствие, как оно сформулировано в нашей работе (а также сопутствующей ей работе про бесконечность-тильтинг) -- это соответствие между абелевыми категориями с некоторыми дополнительными данными.
Собственно, фундаментальный факт состоит в том, что наряду со знакомыми и привычными каждому гомологическому алгебраисту абелевыми категориями Гротендика, есть другой важный класс абелевых категорий, в каком-то смысле (только не спрашивайте меня, что эти слова означают...) "ковариантно двойственный". Это класс всех локально представимых абелевых категорий с достаточным количеством проективных объектов. Комодули обычно образуют категории Гротендика, а контрамодули обычно образуют локально представимые абелевы категории с достаточным количеством проективных объектов.
Комодульно-контрамодульное соответствие -- это такое явление природы в математике. (Полезно научиться не путать его с кошулевой двойственностью, которая есть другое и более сложное явление природы в том же ряду.) Работа про тильтинго-котильтинговое соответствие, выходящая теперь из печати, существенно проясняет и расширяет наш взгляд на это явление.
Работа про тильтинго-котильтинговое соответствие связывает этот сюжет с другим традиционным разделом теории представлений, выросшим из науки про представления конечномерных алгебр (колчанов и т.д.). Одновременно она делает еще один шаг на пути обобщения и абстрагирования, перенося предмет в контекст абелевых категорий. Тильтинго-котильтинговое соответствие, как оно сформулировано в нашей работе (а также сопутствующей ей работе про бесконечность-тильтинг) -- это соответствие между абелевыми категориями с некоторыми дополнительными данными.
Собственно, фундаментальный факт состоит в том, что наряду со знакомыми и привычными каждому гомологическому алгебраисту абелевыми категориями Гротендика, есть другой важный класс абелевых категорий, в каком-то смысле (только не спрашивайте меня, что эти слова означают...) "ковариантно двойственный". Это класс всех локально представимых абелевых категорий с достаточным количеством проективных объектов. Комодули обычно образуют категории Гротендика, а контрамодули обычно образуют локально представимые абелевы категории с достаточным количеством проективных объектов.
Комодульно-контрамодульное соответствие -- это такое явление природы в математике. (Полезно научиться не путать его с кошулевой двойственностью, которая есть другое и более сложное явление природы в том же ряду.) Работа про тильтинго-котильтинговое соответствие, выходящая теперь из печати, существенно проясняет и расширяет наш взгляд на это явление.
