Совершенные кольца
Aug. 22nd, 2019 12:33 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicВесной 1999 года, придумав определение того, что стало потом называться контрапроизводной категорией, я задался самым естественным, как тогда казалось, в этом контексте вопросом: над какими кольцами бесконечные произведения проективных модулей являются проективными модулями? Я пошел в библиотеку IAS и обнаружил, что вопрос этот распадается на самом деле на два.
Во-первых, над какими кольцами бесконечные произведения плоских модулей плоски? Ответ на этот вопрос дается в статье Чейза 1960 года: такие кольца называются когерентными. Для того, чтобы произведения плоских левых R-модулей были плоски, необходимо и достаточно, чтобы кольцо R было когерентно справа (т.е., всякий конечно порожденный правый идеал был конечно представим).
Во-вторых, над какими кольцами все плоские модули проективны? Ответ на этот вопрос дается в статье Басса 1960 года: такие кольца называются совершенными. Все плоские левые R-модули проективны тогда и только тогда, когда всякий левый R-модуль имеет проективное покрытие (это двойственное понятие к инъективной оболочке), тогда и только тогда, когда все убывающие цепочки главных правых идеалов стабилизируются; в этом случае говорят, что кольцо R совершенно слева.
Из предыдущих двух абзацев ясно, что над всяким когерентным справа и совершенным слева кольцом бесконечные произведения проективных модулей проективны. Верно ли обратное? В статье Чейза доказывается, что ответ на этот вопрос положительный.
Выяснив все это весной 1999, я пришел к выводу, что типичными примерами колец, над которыми произведения проективных левых модулей проективны, являются артиновы справа кольца: они и совершенны с обеих сторон, и когерентны справа. Других примеров в общем-то почти и нет (думал я тогда): класс совершенных колец довольно узкий, там не развернешься. Открытие это было довольно огорчительным, но ничего не поделаешь.
Прошло три года. Летом 2002 я размышлял о том, как построить теорию полубесконечных гомологий и когомологий того, что стало потом называться полуассоциативными полуалгебрами над коалгебрами над полями. Теория эта должна была включать триангулированную эквивалентность между тем, что теперь называется полупроизводными категориями полумодулей и полуконтрамодулей. Доказательство этой эквивалентности требовало некоторой конструкции резольвент.
Вопрос уперся в то, что нужно было обобщить на бесконечномерные коалгебры частный случай теоремы Басса: плоский модуль над конечномерной алгеброй проективен. Требовалось доказать, что контраплоский контрамодуль над произвольной коалгеброй проективен. Доказательство этого мне придумать тогда не удалось. В том, что стало называться моими "летними письмами 2002 года о полубесконечной гомологической алгебре" построение этого куска теории было намечено по модулю соответствующей гипотезы.
Прошло еще почти четыре года, и весной 2006 я вернулся к этому вопросу. К счастью, у меня был тогда доступ в библиотеку Стекловки, куда я и направился снова читать статью Басса. Необходимое доказательство было построено и вошло в монографию по полубесконечной гомологической алгебре, которая вышла из печати еще через четыре года, осенью 2010.
Тем временем, весной 2009 я сообразил, что для целей контрапроизводной категории не обязательно нужно, чтобы произведения проективных модулей были проективны, а достаточно, чтобы произведения проективных модулей имели конечную проективную размерность. Например, нередко бывает, что произведения проективных модулей плоски (т.е., кольцо когерентно) и плоские модули имеют конечную проективную размерность. В частности, нетеровы коммутативные кольца конечной размерности Крулля обладают этим последним свойством. То есть, собственно, для изначальной цели 1999 года совершенные кольца как бы даже и не очень нужны.
На дворе лето 2019. Я по-прежнему размышляю и пишу про совершенные кольца (почти совершенные кольца, просовершенные кольца, топологически совершенные кольца, локально совершенные кольца...) и по-прежнему ссылаюсь на статью Басса. Пора б уж и перестать? Не знаю, возможно. Но всему свое время. Двадцать лет назад совершенные кольца казались мне экзотическим сюжетом. Сегодня я вижу, что в теории колец и модулей они возникают повсюду.
Во-первых, над какими кольцами бесконечные произведения плоских модулей плоски? Ответ на этот вопрос дается в статье Чейза 1960 года: такие кольца называются когерентными. Для того, чтобы произведения плоских левых R-модулей были плоски, необходимо и достаточно, чтобы кольцо R было когерентно справа (т.е., всякий конечно порожденный правый идеал был конечно представим).
Во-вторых, над какими кольцами все плоские модули проективны? Ответ на этот вопрос дается в статье Басса 1960 года: такие кольца называются совершенными. Все плоские левые R-модули проективны тогда и только тогда, когда всякий левый R-модуль имеет проективное покрытие (это двойственное понятие к инъективной оболочке), тогда и только тогда, когда все убывающие цепочки главных правых идеалов стабилизируются; в этом случае говорят, что кольцо R совершенно слева.
Из предыдущих двух абзацев ясно, что над всяким когерентным справа и совершенным слева кольцом бесконечные произведения проективных модулей проективны. Верно ли обратное? В статье Чейза доказывается, что ответ на этот вопрос положительный.
Выяснив все это весной 1999, я пришел к выводу, что типичными примерами колец, над которыми произведения проективных левых модулей проективны, являются артиновы справа кольца: они и совершенны с обеих сторон, и когерентны справа. Других примеров в общем-то почти и нет (думал я тогда): класс совершенных колец довольно узкий, там не развернешься. Открытие это было довольно огорчительным, но ничего не поделаешь.
Прошло три года. Летом 2002 я размышлял о том, как построить теорию полубесконечных гомологий и когомологий того, что стало потом называться полуассоциативными полуалгебрами над коалгебрами над полями. Теория эта должна была включать триангулированную эквивалентность между тем, что теперь называется полупроизводными категориями полумодулей и полуконтрамодулей. Доказательство этой эквивалентности требовало некоторой конструкции резольвент.
Вопрос уперся в то, что нужно было обобщить на бесконечномерные коалгебры частный случай теоремы Басса: плоский модуль над конечномерной алгеброй проективен. Требовалось доказать, что контраплоский контрамодуль над произвольной коалгеброй проективен. Доказательство этого мне придумать тогда не удалось. В том, что стало называться моими "летними письмами 2002 года о полубесконечной гомологической алгебре" построение этого куска теории было намечено по модулю соответствующей гипотезы.
Прошло еще почти четыре года, и весной 2006 я вернулся к этому вопросу. К счастью, у меня был тогда доступ в библиотеку Стекловки, куда я и направился снова читать статью Басса. Необходимое доказательство было построено и вошло в монографию по полубесконечной гомологической алгебре, которая вышла из печати еще через четыре года, осенью 2010.
Тем временем, весной 2009 я сообразил, что для целей контрапроизводной категории не обязательно нужно, чтобы произведения проективных модулей были проективны, а достаточно, чтобы произведения проективных модулей имели конечную проективную размерность. Например, нередко бывает, что произведения проективных модулей плоски (т.е., кольцо когерентно) и плоские модули имеют конечную проективную размерность. В частности, нетеровы коммутативные кольца конечной размерности Крулля обладают этим последним свойством. То есть, собственно, для изначальной цели 1999 года совершенные кольца как бы даже и не очень нужны.
На дворе лето 2019. Я по-прежнему размышляю и пишу про совершенные кольца (почти совершенные кольца, просовершенные кольца, топологически совершенные кольца, локально совершенные кольца...) и по-прежнему ссылаюсь на статью Басса. Пора б уж и перестать? Не знаю, возможно. Но всему свое время. Двадцать лет назад совершенные кольца казались мне экзотическим сюжетом. Сегодня я вижу, что в теории колец и модулей они возникают повсюду.
