Что такое гомологическая алгебра

[posic]

Вот объяснение для людей, помнящих стандартный курс дифференциального-интегрального исчисления нескольких переменных (хотя бы даже на уровне технического вуза и т.п.) Символ R обозначает, как всегда, множество всех вещественных чисел.

Задача: на области (открытом подмножестве) U ⊂ R² заданы две функции f, g: U → R. (Все функции предполагаются достаточно хорошими -- непрерывными и имеющими столько непрерывных частных производных, сколько может потребоваться.) Существует ли функция H: U → R, такая что ∂H/∂x = f и ∂H/∂y = g ?

Набросок решения: отметим, что частные производные коммутируют, ∂²H/∂x∂y = ∂²H/∂y∂x. Поэтому, чтобы задача имела решение, необходимо прежде всего, чтобы выполнялось равенство ∂f/∂y = ∂g/∂x. Это как бы базовое необходимое условие для того, чтобы постановка задачи имела смысл; без этого, и говорить не о чем.

Предположим, что это условие выполнено. Тогда оказывается, что разрешимость задачи зависит от топологии области U. Если она односвязна (попросту говоря, внутри нее нет дырок -- например, U может быть внутренностью круга, квадрата, треугольника и т.п.), задача имеет решение. Если же дырка внутри есть -- скажем, U представляет собой кольцо (область между двумя концентрическими окружностями) -- возникает препятствие.

Препятствие это имеет иной вид, чем то, что было рассмотрено выше: если нашим первым необходимым условием было равенство неких функций на U, то дополнительное условие, связанное с дыркой внутри U, имеет вид равенства неких чисел (зависящих от функций f и g). Числа эти определяются как подходящие интегралы по какой-нибудь замкнутой кривой внутри U, обходящей вокруг дырки. Если внутри U несколько дырок (скажем, U является эпсилон-окрестностью нарисованной на плоскости восьмерки -- тогда дырок внутри две), для разрешимости задачи необходимо, чтобы выполнялось по одному такому численному равенству для каждой из дырок. Более того, описанная совокупность необходимых условий является и достаточным условием.

На этом примере можно видеть базовую схему того, что называется гомологическим препятствием к разрешимости задачи. Имеется "большой" набор очевидно необходимых условий для того, чтобы задача имела смысл; после того, как эти условия выполнены, остается еще "гораздо меньший" набор "неочевидных" и "интересных" условий, который является и достаточным. Вот такие препятствия к разрешимости естественных задач, а также параметризующие эти препятствия индексы (реально, группы или векторные пространства и т.п.) изучает гомологическая алгебра.

Comments

[udpn.livejournal.com]

Вот если бы так преподавали в универе, я был бы математиком.

[posic.livejournal.com]

Так не бывает. Популярная лекция и учебный курс -- разные жанры. Любишь кататься, и т.д. Есть еще какая-то притча про то, что для того, чтобы научиться вышивать платочек, нужно смотреть не только на переднюю поверхность, где узор, но и на изнанку, где узелки.

При том, что преподавание в универах зачастую действительно оставляет желать много лучшего.

[(Anonymous)]

Если смотреть только на узелки и не видеть узора, то вышивать не то что не научишься, а вообще не захочешь. Чтобы научиться вышивать, нужно 1) вначале увидеть несколько узоров и восхититься ими – просто чтобы появился интерес; 2) изучать узелки, но сперва лишь в той мере, в которой они позволяют воспроизвести некоторые известные и похожие на них узоры – так, через reinvention, осваиваится техника; 3) и только потом учиться комбинировать узелки свободно, так чтобы построить нужный тебе оригинальный узор. Мне кажется, почти во всех курсах первыми двумя пунктами (либо их качеством) пренебрегают, по факту демонстрируя одни только узелки, то и дело сшитые вкривь и вкось. Вот в таких ваших постах этот пробел частично восполняется, поэтому хочется, чтоб вы писали их чаще.

[cema.livejournal.com]

Не знаю, кто это писал, но согласен и присоединяюсь.