Что такое гомологическая алгебра
Jul. 12th, 2012 11:16 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicВот объяснение для людей, помнящих стандартный курс дифференциального-интегрального исчисления нескольких переменных (хотя бы даже на уровне технического вуза и т.п.) Символ R обозначает, как всегда, множество всех вещественных чисел.
Задача: на области (открытом подмножестве) U ⊂ R2 заданы две функции f, g: U → R. (Все функции предполагаются достаточно хорошими -- непрерывными и имеющими столько непрерывных частных производных, сколько может потребоваться.) Существует ли функция H: U → R, такая что ∂H/∂x = f и ∂H/∂y = g ?
Набросок решения: отметим, что частные производные коммутируют, ∂2H/∂x∂y = ∂2H/∂y∂x. Поэтому, чтобы задача имела решение, необходимо прежде всего, чтобы выполнялось равенство ∂f/∂y = ∂g/∂x. Это как бы базовое необходимое условие для того, чтобы постановка задачи имела смысл; без этого, и говорить не о чем.
Предположим, что это условие выполнено. Тогда оказывается, что разрешимость задачи зависит от топологии области U. Если она односвязна (попросту говоря, внутри нее нет дырок -- например, U может быть внутренностью круга, квадрата, треугольника и т.п.), задача имеет решение. Если же дырка внутри есть -- скажем, U представляет собой кольцо (область между двумя концентрическими окружностями) -- возникает препятствие.
Препятствие это имеет иной вид, чем то, что было рассмотрено выше: если нашим первым необходимым условием было равенство неких функций на U, то дополнительное условие, связанное с дыркой внутри U, имеет вид равенства неких чисел (зависящих от функций f и g). Числа эти определяются как подходящие интегралы по какой-нибудь замкнутой кривой внутри U, обходящей вокруг дырки. Если внутри U несколько дырок (скажем, U является эпсилон-окрестностью нарисованной на плоскости восьмерки -- тогда дырок внутри две), для разрешимости задачи необходимо, чтобы выполнялось по одному такому численному равенству для каждой из дырок. Более того, описанная совокупность необходимых условий является и достаточным условием.
На этом примере можно видеть базовую схему того, что называется гомологическим препятствием к разрешимости задачи. Имеется "большой" набор очевидно необходимых условий для того, чтобы задача имела смысл; после того, как эти условия выполнены, остается еще "гораздо меньший" набор "неочевидных" и "интересных" условий, который является и достаточным. Вот такие препятствия к разрешимости естественных задач, а также параметризующие эти препятствия индексы (реально, группы или векторные пространства и т.п.) изучает гомологическая алгебра.
Задача: на области (открытом подмножестве) U ⊂ R2 заданы две функции f, g: U → R. (Все функции предполагаются достаточно хорошими -- непрерывными и имеющими столько непрерывных частных производных, сколько может потребоваться.) Существует ли функция H: U → R, такая что ∂H/∂x = f и ∂H/∂y = g ?
Набросок решения: отметим, что частные производные коммутируют, ∂2H/∂x∂y = ∂2H/∂y∂x. Поэтому, чтобы задача имела решение, необходимо прежде всего, чтобы выполнялось равенство ∂f/∂y = ∂g/∂x. Это как бы базовое необходимое условие для того, чтобы постановка задачи имела смысл; без этого, и говорить не о чем.
Предположим, что это условие выполнено. Тогда оказывается, что разрешимость задачи зависит от топологии области U. Если она односвязна (попросту говоря, внутри нее нет дырок -- например, U может быть внутренностью круга, квадрата, треугольника и т.п.), задача имеет решение. Если же дырка внутри есть -- скажем, U представляет собой кольцо (область между двумя концентрическими окружностями) -- возникает препятствие.
Препятствие это имеет иной вид, чем то, что было рассмотрено выше: если нашим первым необходимым условием было равенство неких функций на U, то дополнительное условие, связанное с дыркой внутри U, имеет вид равенства неких чисел (зависящих от функций f и g). Числа эти определяются как подходящие интегралы по какой-нибудь замкнутой кривой внутри U, обходящей вокруг дырки. Если внутри U несколько дырок (скажем, U является эпсилон-окрестностью нарисованной на плоскости восьмерки -- тогда дырок внутри две), для разрешимости задачи необходимо, чтобы выполнялось по одному такому численному равенству для каждой из дырок. Более того, описанная совокупность необходимых условий является и достаточным условием.
На этом примере можно видеть базовую схему того, что называется гомологическим препятствием к разрешимости задачи. Имеется "большой" набор очевидно необходимых условий для того, чтобы задача имела смысл; после того, как эти условия выполнены, остается еще "гораздо меньший" набор "неочевидных" и "интересных" условий, который является и достаточным. Вот такие препятствия к разрешимости естественных задач, а также параметризующие эти препятствия индексы (реально, группы или векторные пространства и т.п.) изучает гомологическая алгебра.
