Классическая K(π,1)-гипотеза
Jun. 12th, 2010 02:54 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение http://posic.livejournal.com/391923.html
Пусть A -- положительно внутренне градуированная DG-алгебра над полем k (если это почему-либо помогает, можно дополнительно предположить, что каждая ее компонента ограничена сверху в когомологической градуировке). Пусть D -- полная триангулированная подкатегория, порожденная объектами A(n) в производной категории D(A-mod) внутренне градуированных DG-модулей над A. Пусть M ⊂ D -- полная подкатегория, состоящая из итерированных расширений объектов A(n).
Пусть C -- приведенная бар-конструкция DG-алгебры A; тогда C -- положительно внутренне градуированная DG-коалгебра над k. Триангулированная категория D вкладывается в (ко)производную категорию внутренне градуированных DG-комодулей над C; объектам A(n) при этом соответствуют объекты k(n). Это все понятно, но непонятно другое.
Гипотеза: 1) полная подкатегория M допускает глупые фильтрации тогда и только тогда, когда DG-коалгебра C не имеет когомологий в положительных когомологических степенях;
2) M является сердцевиной t-структуры на D тогда и только тогда, когда DG-коалгебра C не имеет когомологий в отрицательных когомологических степенях; [Update: в самом деле, из взаимной обратности бар- и кобар-конструкций сразу следует, что A не имеет когомологий в неположительных степенях тогда и только тогда, когда C не имеет когомологий в отрицательных степенях.]
3) хорошо бы пересказать условие отсутствия отрицательных Ext'ов между объектами M в терминах когомологий C -- что-то типа того, что их нет в степенях, меньших минус единицы, плюс, может быть, какое-то дополнительное условие. [Update: дополнительное условие нужно с другой стороны -- отсутствие отрицательных Ext'ов плюс сильные дополнительные ограничения на нулевые эквивалентны отсутствию когомологий у C в степенях, меньших минус единицы.]
Наиболее интересен и непонятен пункт 1).
Пусть A -- положительно внутренне градуированная DG-алгебра над полем k (если это почему-либо помогает, можно дополнительно предположить, что каждая ее компонента ограничена сверху в когомологической градуировке). Пусть D -- полная триангулированная подкатегория, порожденная объектами A(n) в производной категории D(A-mod) внутренне градуированных DG-модулей над A. Пусть M ⊂ D -- полная подкатегория, состоящая из итерированных расширений объектов A(n).
Пусть C -- приведенная бар-конструкция DG-алгебры A; тогда C -- положительно внутренне градуированная DG-коалгебра над k. Триангулированная категория D вкладывается в (ко)производную категорию внутренне градуированных DG-комодулей над C; объектам A(n) при этом соответствуют объекты k(n). Это все понятно, но непонятно другое.
Гипотеза: 1) полная подкатегория M допускает глупые фильтрации тогда и только тогда, когда DG-коалгебра C не имеет когомологий в положительных когомологических степенях;
2) M является сердцевиной t-структуры на D тогда и только тогда, когда DG-коалгебра C не имеет когомологий в отрицательных когомологических степенях; [Update: в самом деле, из взаимной обратности бар- и кобар-конструкций сразу следует, что A не имеет когомологий в неположительных степенях тогда и только тогда, когда C не имеет когомологий в отрицательных степенях.]
3) хорошо бы пересказать условие отсутствия отрицательных Ext'ов между объектами M в терминах когомологий C -- что-то типа того, что их нет в степенях, меньших минус единицы, плюс, может быть, какое-то дополнительное условие. [Update: дополнительное условие нужно с другой стороны -- отсутствие отрицательных Ext'ов плюс сильные дополнительные ограничения на нулевые эквивалентны отсутствию когомологий у C в степенях, меньших минус единицы.]
Наиболее интересен и непонятен пункт 1).
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2010-07-21 11:42 am (UTC)Есть (производная) категория $D(X_0)$ смешанных комплексов пучков на многообразии $X_0$ (см. [BBD]), внутри нее - чистые комплексы веса 0. Между последними морфизмы есть только степени не больше 1, и степень ровно 1 погибает когда мы расширяем скаляры (переходим от $X_0$ к $X$ над алгебраическим замыканием базового поля). Вопрос: существует ли категория, промежуточная между $D(X_0)$ и $D(X)$, в которой между комплексами веса 0 есть только морфизмы отрицательных степеней? Бывает ли какой-то общий метод (например, дифференциально-градуированный) чтобы построить такое счастье? Если нет - то что мешает?:)
no subject
Date: 2010-07-21 12:15 pm (UTC)Разве что -- может быть, можно сварганить какую-то категорию комплексов пучков на X_0, в которых Фробениусы действуют (где?) полупросто? Такая категория могла бы иметь нужные свойства, но я не знаю, как ее определить и позволяет ли современное состояние науки это сделать.
no subject
Date: 2010-07-21 01:58 pm (UTC)no subject
Date: 2010-07-21 03:38 pm (UTC)В этом случае, мне кажется, ответ отрицательный. Вот контрпример, основанный на некой разновидности операций Масси. Пусть A = k[x]/x^2, где deg x = 1 и d(x)=0. И пусть B -- ассоциативная (некоммутативная) алгебра с образующими x,y, deg x = 1, deg y = 0, единственным соотношением x^2=0, и дифференциалом d(y)=x. Предположим, что тождественное вложение DG-алгебр A -> B факторизуется через DG-алгебру C с нулевыми когомологиями в степенях выше 0. Тогда образ элемента x в C должен быть дифференциалом некоторого элемента c, причем элемент cx (являющийся коциклом, поскольку d(cx) = x^2 = 0) представляет тривиальный класс когомологий C, т.е. cx = d(b). Рассмотрим образы элементов c и b в DG-алгебре B; имеем d(y-c) = 0 и cx = d(b), откуда yx = (y-c)x в H(B). Но из соображений внутренней градуировки ясно, что класс yx не может делиться на класс x в H(B). Надо только проверить, что класс yx нетривиален в H(B), что верно потому, что элемент yx не пропорционален d(y^2) в B, поскольку x и y не коммутируют.
no subject
Date: 2010-07-21 03:56 pm (UTC)no subject
Date: 2010-07-21 05:10 pm (UTC)