Классическая K(π,1)-гипотеза
Jun. 12th, 2010 02:54 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение http://posic.livejournal.com/391923.html
Пусть A -- положительно внутренне градуированная DG-алгебра над полем k (если это почему-либо помогает, можно дополнительно предположить, что каждая ее компонента ограничена сверху в когомологической градуировке). Пусть D -- полная триангулированная подкатегория, порожденная объектами A(n) в производной категории D(A-mod) внутренне градуированных DG-модулей над A. Пусть M ⊂ D -- полная подкатегория, состоящая из итерированных расширений объектов A(n).
Пусть C -- приведенная бар-конструкция DG-алгебры A; тогда C -- положительно внутренне градуированная DG-коалгебра над k. Триангулированная категория D вкладывается в (ко)производную категорию внутренне градуированных DG-комодулей над C; объектам A(n) при этом соответствуют объекты k(n). Это все понятно, но непонятно другое.
Гипотеза: 1) полная подкатегория M допускает глупые фильтрации тогда и только тогда, когда DG-коалгебра C не имеет когомологий в положительных когомологических степенях;
2) M является сердцевиной t-структуры на D тогда и только тогда, когда DG-коалгебра C не имеет когомологий в отрицательных когомологических степенях; [Update: в самом деле, из взаимной обратности бар- и кобар-конструкций сразу следует, что A не имеет когомологий в неположительных степенях тогда и только тогда, когда C не имеет когомологий в отрицательных степенях.]
3) хорошо бы пересказать условие отсутствия отрицательных Ext'ов между объектами M в терминах когомологий C -- что-то типа того, что их нет в степенях, меньших минус единицы, плюс, может быть, какое-то дополнительное условие. [Update: дополнительное условие нужно с другой стороны -- отсутствие отрицательных Ext'ов плюс сильные дополнительные ограничения на нулевые эквивалентны отсутствию когомологий у C в степенях, меньших минус единицы.]
Наиболее интересен и непонятен пункт 1).
Пусть A -- положительно внутренне градуированная DG-алгебра над полем k (если это почему-либо помогает, можно дополнительно предположить, что каждая ее компонента ограничена сверху в когомологической градуировке). Пусть D -- полная триангулированная подкатегория, порожденная объектами A(n) в производной категории D(A-mod) внутренне градуированных DG-модулей над A. Пусть M ⊂ D -- полная подкатегория, состоящая из итерированных расширений объектов A(n).
Пусть C -- приведенная бар-конструкция DG-алгебры A; тогда C -- положительно внутренне градуированная DG-коалгебра над k. Триангулированная категория D вкладывается в (ко)производную категорию внутренне градуированных DG-комодулей над C; объектам A(n) при этом соответствуют объекты k(n). Это все понятно, но непонятно другое.
Гипотеза: 1) полная подкатегория M допускает глупые фильтрации тогда и только тогда, когда DG-коалгебра C не имеет когомологий в положительных когомологических степенях;
2) M является сердцевиной t-структуры на D тогда и только тогда, когда DG-коалгебра C не имеет когомологий в отрицательных когомологических степенях; [Update: в самом деле, из взаимной обратности бар- и кобар-конструкций сразу следует, что A не имеет когомологий в неположительных степенях тогда и только тогда, когда C не имеет когомологий в отрицательных степенях.]
3) хорошо бы пересказать условие отсутствия отрицательных Ext'ов между объектами M в терминах когомологий C -- что-то типа того, что их нет в степенях, меньших минус единицы, плюс, может быть, какое-то дополнительное условие. [Update: дополнительное условие нужно с другой стороны -- отсутствие отрицательных Ext'ов плюс сильные дополнительные ограничения на нулевые эквивалентны отсутствию когомологий у C в степенях, меньших минус единицы.]
Наиболее интересен и непонятен пункт 1).
