Классическая K(π,1)-гипотеза
Jun. 12th, 2010 02:54 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение http://posic.livejournal.com/391923.html
Пусть A -- положительно внутренне градуированная DG-алгебра над полем k (если это почему-либо помогает, можно дополнительно предположить, что каждая ее компонента ограничена сверху в когомологической градуировке). Пусть D -- полная триангулированная подкатегория, порожденная объектами A(n) в производной категории D(A-mod) внутренне градуированных DG-модулей над A. Пусть M ⊂ D -- полная подкатегория, состоящая из итерированных расширений объектов A(n).
Пусть C -- приведенная бар-конструкция DG-алгебры A; тогда C -- положительно внутренне градуированная DG-коалгебра над k. Триангулированная категория D вкладывается в (ко)производную категорию внутренне градуированных DG-комодулей над C; объектам A(n) при этом соответствуют объекты k(n). Это все понятно, но непонятно другое.
Гипотеза: 1) полная подкатегория M допускает глупые фильтрации тогда и только тогда, когда DG-коалгебра C не имеет когомологий в положительных когомологических степенях;
2) M является сердцевиной t-структуры на D тогда и только тогда, когда DG-коалгебра C не имеет когомологий в отрицательных когомологических степенях; [Update: в самом деле, из взаимной обратности бар- и кобар-конструкций сразу следует, что A не имеет когомологий в неположительных степенях тогда и только тогда, когда C не имеет когомологий в отрицательных степенях.]
3) хорошо бы пересказать условие отсутствия отрицательных Ext'ов между объектами M в терминах когомологий C -- что-то типа того, что их нет в степенях, меньших минус единицы, плюс, может быть, какое-то дополнительное условие. [Update: дополнительное условие нужно с другой стороны -- отсутствие отрицательных Ext'ов плюс сильные дополнительные ограничения на нулевые эквивалентны отсутствию когомологий у C в степенях, меньших минус единицы.]
Наиболее интересен и непонятен пункт 1).
Пусть A -- положительно внутренне градуированная DG-алгебра над полем k (если это почему-либо помогает, можно дополнительно предположить, что каждая ее компонента ограничена сверху в когомологической градуировке). Пусть D -- полная триангулированная подкатегория, порожденная объектами A(n) в производной категории D(A-mod) внутренне градуированных DG-модулей над A. Пусть M ⊂ D -- полная подкатегория, состоящая из итерированных расширений объектов A(n).
Пусть C -- приведенная бар-конструкция DG-алгебры A; тогда C -- положительно внутренне градуированная DG-коалгебра над k. Триангулированная категория D вкладывается в (ко)производную категорию внутренне градуированных DG-комодулей над C; объектам A(n) при этом соответствуют объекты k(n). Это все понятно, но непонятно другое.
Гипотеза: 1) полная подкатегория M допускает глупые фильтрации тогда и только тогда, когда DG-коалгебра C не имеет когомологий в положительных когомологических степенях;
2) M является сердцевиной t-структуры на D тогда и только тогда, когда DG-коалгебра C не имеет когомологий в отрицательных когомологических степенях; [Update: в самом деле, из взаимной обратности бар- и кобар-конструкций сразу следует, что A не имеет когомологий в неположительных степенях тогда и только тогда, когда C не имеет когомологий в отрицательных степенях.]
3) хорошо бы пересказать условие отсутствия отрицательных Ext'ов между объектами M в терминах когомологий C -- что-то типа того, что их нет в степенях, меньших минус единицы, плюс, может быть, какое-то дополнительное условие. [Update: дополнительное условие нужно с другой стороны -- отсутствие отрицательных Ext'ов плюс сильные дополнительные ограничения на нулевые эквивалентны отсутствию когомологий у C в степенях, меньших минус единицы.]
Наиболее интересен и непонятен пункт 1).
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2010-06-12 12:29 am (UTC)no subject
Date: 2010-06-12 09:36 am (UTC)no subject
Date: 2010-06-12 10:00 am (UTC)no subject
Date: 2010-06-12 10:04 am (UTC)no subject
Date: 2010-06-12 10:08 am (UTC)Вообще не знал, что Воеводский с Блохом переписывался.:)
no subject
Date: 2010-06-12 10:14 am (UTC)no subject
Date: 2010-06-12 10:24 am (UTC)no subject
Date: 2010-06-13 06:14 am (UTC)http://arxiv.org/abs/0704.4003
http://arxiv.org/abs/0705.0102
no subject
Date: 2010-06-13 09:42 am (UTC)no subject
Date: 2010-06-13 04:41 pm (UTC)Что касается Ext'ов c положительными номерами между мотивами Тейта, то между $Z(i)[2i]$ их нет, равно как и между $Z(i)[i]$.:)
no subject
Date: 2010-06-13 07:14 pm (UTC)Другое дело, если бы DG-коалгебра C была "односвязна", т.е. имела полупростую коалгебру нулевых когомологий и нулевые минус первые когомологии, дополнительно к отсутствию положительных когомологий. Тогда да, положительных Ext'ов между DG-комодулями с когомологиями, сосредоточенными в степени ноль, не было бы над C. Этот случай (с точностью до замены коалгебры на алгебру) обсуждается в статье Pauksztello по вашей ссылке.
Что касается вашего второго абзаца, то это, конечно, верно. Но это не то, что мы обсуждали с Воеводским 15 лет назад. Нас тогда интересовала, в роли "сердцевины", подкатегория, порожденная с помощью расширений мотивами Тейта, а не их гомологическими сдвигами.
no subject
Date: 2010-06-13 07:19 pm (UTC)no subject
Date: 2010-06-13 07:39 pm (UTC)При n>m там вообще ничего нет, при n=m -- милноровская К-теория стоит, которая является квадратичной алгеброй. Вот эти утверждения -- что выше диагонали n=m ничего нет, а на диагонали квадратичная алгебра -- они формально следуют из существования глупых фильтраций. Поскольку эти утверждения доказать не так уж сложно, была надежда, что и глупые фильтрации в целом построить не так уж сложно.
Глупые фильтрации связаны с поведением этих Ext при n>=1, или даже при n>=2. Vanishing conjectures утверждают отсутствие этих Ext при n<=0 (в случае рациональных коэффициентов).
Далее. В случае конечных коэффициентов есть работа Суслина-Воеводского, в которой гипотеза Бейлинсона-Лихтенбаума (описание всех мотивных когомологий в терминах когомологий Галуа) выводится из Блоха-Като (описание диагональных мотивных когомологий в терминах группы Галуа). В частности, так выводится vanishing conjecture с конечными коэффициентами. Там в доказательстве происходит некое движение от диагонали вниз по n при фиксированном m. Была надежда, что аналогичным образом можно вывести vanishing conjectures с рациональными коэффициентами из глупых фильтраций.
no subject
Date: 2010-06-13 07:52 pm (UTC)Кстати, если я Вам что-нибудь и напомнил, то чисто случайно, так как явно не понял, чего именно Вы хотите.:)
no subject
Date: 2010-06-13 08:10 pm (UTC)Я не знаю никаких публикаций на эту тему. Разве что -- может быть Гончаров где-то что-то такое упоминает, скажем, в работах про мотив эллиптической кривой (эллиптический полилогарифм и т.п.) -- в контексте вопроса типа того, что если добавить мотив эллиптической кривой к мотивам Тейта, то глупые фильтрации гипотетически будут или не будут существовать для такой подкатегории. Короче, мы с ним что-то такое обсуждали, не знаю, в каком виде это попало в его статьи.
Я надеюсь, что этот мой текст станет такой публикацией, но пройдет еще какое-то время, пока это произойдет -- до поездки в Петербург я вряд ли успею его закончить.
no subject
Date: 2010-06-13 04:51 pm (UTC)no subject
Date: 2010-06-13 07:23 pm (UTC)no subject
Date: 2010-06-13 11:21 pm (UTC)no subject
Date: 2010-06-21 08:56 am (UTC)Замечание 2 удивляет: разве Вам не нужно ничего требовать для того, чтобы модуль P в доказательстве теоремы ($Y_i$ в замечании?) не имел отрицательных (положительных?:)) когомологий?
В теореме не очень понятно, чего хочется от $Z$: того, что написано в формулировке, или того, что про него сказано в "only if".
no subject
Date: 2010-06-21 09:42 am (UTC)Положительные DG-кольца не имеют отношения к весовым структурам, если вы рассматриваете подкатегории в производной категории, порожденные сдвигами свободного DG-модуля. Если вы вместо этого рассматриваете подкатегории DG-модулей с положительными или отрицательными когомологиями (что происходит у меня в теореме 1.9), положительные DG-кольца имеют отношение к весовым структурам.
В моем Замечании 2 рассматривается ситуация, когда D≤0 определяется в терминах зануления положительных когомологий, а D≥0 -- в терминах порождения положительными сдвигами свободного DG-модуля. Поэтому следить за когомологиями Y_i не нужно. В результате получается весовая структура (т.е. и условие ортогональности тоже выполнено).
В доказательстве "only if" в теореме все сдвинуто по гомологической градуировке на единицу по сравнению с тем, что в формулировке. В формулировке прямая целочисленных индексов разбита на сегменты (-∞,0] и [1,∞), а в доказательстве -- на сегменты (-∞,-1] и [0,∞).
no subject
Date: 2010-07-21 11:42 am (UTC)Есть (производная) категория $D(X_0)$ смешанных комплексов пучков на многообразии $X_0$ (см. [BBD]), внутри нее - чистые комплексы веса 0. Между последними морфизмы есть только степени не больше 1, и степень ровно 1 погибает когда мы расширяем скаляры (переходим от $X_0$ к $X$ над алгебраическим замыканием базового поля). Вопрос: существует ли категория, промежуточная между $D(X_0)$ и $D(X)$, в которой между комплексами веса 0 есть только морфизмы отрицательных степеней? Бывает ли какой-то общий метод (например, дифференциально-градуированный) чтобы построить такое счастье? Если нет - то что мешает?:)
no subject
Date: 2010-07-21 12:15 pm (UTC)Разве что -- может быть, можно сварганить какую-то категорию комплексов пучков на X_0, в которых Фробениусы действуют (где?) полупросто? Такая категория могла бы иметь нужные свойства, но я не знаю, как ее определить и позволяет ли современное состояние науки это сделать.
no subject
Date: 2010-07-21 01:58 pm (UTC)no subject
Date: 2010-07-21 03:38 pm (UTC)В этом случае, мне кажется, ответ отрицательный. Вот контрпример, основанный на некой разновидности операций Масси. Пусть A = k[x]/x^2, где deg x = 1 и d(x)=0. И пусть B -- ассоциативная (некоммутативная) алгебра с образующими x,y, deg x = 1, deg y = 0, единственным соотношением x^2=0, и дифференциалом d(y)=x. Предположим, что тождественное вложение DG-алгебр A -> B факторизуется через DG-алгебру C с нулевыми когомологиями в степенях выше 0. Тогда образ элемента x в C должен быть дифференциалом некоторого элемента c, причем элемент cx (являющийся коциклом, поскольку d(cx) = x^2 = 0) представляет тривиальный класс когомологий C, т.е. cx = d(b). Рассмотрим образы элементов c и b в DG-алгебре B; имеем d(y-c) = 0 и cx = d(b), откуда yx = (y-c)x в H(B). Но из соображений внутренней градуировки ясно, что класс yx не может делиться на класс x в H(B). Надо только проверить, что класс yx нетривиален в H(B), что верно потому, что элемент yx не пропорционален d(y^2) в B, поскольку x и y не коммутируют.
no subject
Date: 2010-07-21 03:56 pm (UTC)no subject
Date: 2010-07-21 05:10 pm (UTC)