Задачи про неплоскую кошулевость

[posic]

1. Пусть на неотрицательно градуированном кольце A имеется возрастающая фильтрация F (в общем случае -- индексированная некоммутативной градуированной упорядоченной полугруппой).

а) Верно ли, что если кольцо gr_FA кошулево (в градуировке, индуцированной градуировкой на A), то и кольцо A кошулево?

б) Предположим, что кольцо A квадратично, а кольцо gr_FA порождено своей первой компонентой, не имеет соотношений степени 3, и квадратичная часть его кошулева. Верно ли, что в этом случае кольцо gr_FA квадратично (это такая однородная теорема PBW)?

2. В чем могло бы состоять неплоское обобщение результатов про деформации кошулевых алгебр?

3. Что такое неплоская неоднородная квадратичная/кошулева двойственность?

Comments

[silentvoice07.livejournal.com]

Вы можете доказать теорему Пуанкаре-Биргофа-Витта для этого случая?

[posic.livejournal.com]

Не понимаю вопроса: для какого случая? То, что спрашивается в постинге -- это открытые проблемы. Для алгебр над полем доказательство 1б) имеется в книжке Quadratic Algebras, Theorem 7.1 of Chapter 4.

[piont.livejournal.com]

А что для связных алгебр над полем с утверждением 1б)? Разве у Вас не было контрпримера?

[piont.livejournal.com]

Извините, опечатка: подразумевалось 1а.

[posic.livejournal.com]

Не могу понять, какой контрпример вы имеете в виду, но по-моему утверждение 1а) очевидно для связных алгебр над полем. Надо рассмотреть бар-конструкцию, на ней индуцированную фильтрацию. У присоединенного фактора гомологии только на диагонали, значит, и у фильтрованного комплекса тоже.

Нужно только аккуратно определить "некоммутативную градуированную упорядоченную полугруппу" (там важно, чтобы строгие неравенства в полугруппе оставались строгими неравенствами при умножении на любой элемент слева или справа). Ну, и еще чтобы градуировочные компоненты полугруппы были вполне упорядочены. (Я продумывал только случай локально ограниченной фильтрации, когда нужна линейная упорядоченность, но думаю, что в локально неограниченном случае вполне упорядоченности хватит.)

[piont.livejournal.com]

Да, Вы правы, конечно!

А как Вы определяете кошулевость для общих колец?

[posic.livejournal.com]

Определение довольно хитрое. Неотрицательно градуированное кольцо A c нулевой компонентой R = A₀ кошулево, если существует точная категория G, порожденная с помощью расширений своими полными подкатегориями E_i (i∈Z), обратимый функтор подкрутки (1) на G, такой что E_i(1) = E_i+1, и эквивалентность между аддитивной категорией E₀ и категорией конечно-порожденных проективных (или свободных, все равно) правых R-модулей, такие что Extⁿ_E(R,R(m)) = A_n при n=m и 0 при n≠m.

Основные свойства этого определения состоят в том, что 1. оно не меняется при замене нулевой компоненты кольца A, т.е. если для любого гомоморфизма колец S → R рассмотреть градуированное кольцо B с компонентами B_n = A_n при n>0 и B₀ = S, то градуированное кольцо A кошулево тогда и только тогда, когда градуированное кольцо B кошулево; и 2. если градуированное кольцо A является плоским левым или правым A₀-модулем, то оно кошулево тогда и только тогда, когда Tor_ij^A(A₀,A₀) = 0 для всех i≠j.

Кроме того, имеются две совершенно явные "вычислительные" характеризации кошулевых колец в терминах матриц с компонентами из A_n и A₁ ("матричный комплекс Кошуля"). Наконец, точную категорию E можно описать как категорию комодулей над кокольцом, квадратично двойственным к A (к сожалению, это не помогает вычислять интересующий нас Ext, кроме как в плоском случае). Подробности см. в пишущейся статье http://positselski.narod.ru/artin-tate.ps, секции 6-7, и/или в постинге http://posic.livejournal.com/383188.html

[piont.livejournal.com]

Интересное определение! Правда ли, что категория G -- это просто способ зафиксировать возможные градуировки на каждом свободном модуле (так, чтобы прямые суммы и сдвиги своб. модулей также давали допустимую градуировку)? Или подкрутка на G может быть не так тесно связана со сдвигом градуировки на модулях?

И еще вопрос, если можно: откуда условие Ext^n_E(R,R(m)) = A_n при n=m ? Т.е., почему не достаточно Ext^n_E(R,R(m)) = 0 при n \ne m?

[posic.livejournal.com]

Подкрутка на G -- это, конечно, сдвиг градуировки, но только не на модулях над A, а на комодулях над квадратичным кокольцом C над R, квадратично двойственным к A. При этом комодули рассматриваются не произвольные, а только такие, которые проективны/свободны и конечно порождены как градуированные R-модули.

Первое условие, которое вы упоминаете, обеспечивает (единственную) связь между точной категорией E и интересующим нас градуированным кольцом A.

[piont.livejournal.com]

А, понятно! Т.е. категория E -- обобщение категории градуированных модулей над двойственной алгеброй! А какая-то симметрия есть в этой двойственности? (Что такое -- дважды двойственное кольцо? Или дважды двойственная категория?)

[posic.livejournal.com]

Симметрии нет. Роли двух двойственных алгебр перестают быть симметричными, когда пространство образующих становится бесконечномерным и вместо двух двойственных алгебр появляются двойственные алгебра и коалгебра. Тем более нет симметрии между двойственными кольцом и кокольцом.

[posic.livejournal.com]

Что-то я запутался в своих собственных обозначениях. Всюду в длинном комменте выше следует считать E = G.