Статья про мотивы Артина-Тейта

[posic]

http://positselski.narod.ru

Введение + 8 секций = 42 страницы. Уже покрыт, в сильно обобщенном виде, материал, который предполагалось включить сюда, так что той статьи, видимо, не будет.

Уже написано все про кошулевость произвольных неотрицательно градуированных колец. (В этом контексте имеется ссылка на работу В.Р. в Comptes Rendus-1984.) Пока что много открытых отсылок на планируемые аппендиксы, что может мешать чтению.

Доказательство основной теоремы о мотивах А.-Т. с конечными коэффициентами уже есть (не считая побочного вопроса о конструкции функтора из производной категории в триангулированную), обсуждения пока еще нет (кроме как во введении).

Эта статья содержит куски текста, написанные не позже 1998 года, наряду с основным текстом этого года -- тоже в своем роде рекорд. Впрочем, с книжкой про квадратичные алгебры было то же самое.

Вообще история здесь такая -- в 97 году, воображая себе свою будущую диссертацию, я имел в виду, что там будут три части. Написать из них удалось одну (про гипотезу Богомолова), которая и стала диссертацией, и была защищена в 98. Правильное понимание предмета этой части было достигнуто в 2001, и опубликована в журнале она была, в соответственно переписанном виде, в 2005.

Ненаписанные вторая и третья части предполагались быть как раз про мотивы Тейта и что кошулевость влечет производность типа t-структуры. Правильное понимание там было, кажется, достигнуто в 2010, и сейчас это записывается.

Ранее на ту же тему -- http://posic.livejournal.com/411408.html

Comments

[hippie57.livejournal.com]

Тут люди (Хорошкин) спрашивают про Кошулевость и Кошулеву двойственность над кольцом без условий плоскости, например, чтоб градуировочные компоненты алгебры над целыми числами были кручением. Такое прописано где-то? И отдельно про Кошулевость больших колец. Это уже мое замечание: большая ДГ-алгебра, градуированная моноидом -- это строгая моноидальная категория. Можно ли в этот формализм ослабить до нестрогой моноидальной категории (а лучше вообще псевдомоноидальной) и все равно говорить о Кошулевой двойственности?

[posic.livejournal.com]

Кошулевость над кольцом без условий плоскости прописана в этой самой статье, которая находится в процессе написания и скачиваема со страницы на narod.ru. В которую ты заглядывал, как я понимаю. См. секции 6-7. Как и указано в заглавном постинге. Кошулева двойственность -- ну, в некотором смысле она там тоже есть, но неявно. Но только в градуированной ситуации, неплоской неоднородной кошулевой двойственности наука не знаем пока что.

И нет, мне не кажется, что большая алгебра, градуированная моноидом -- это строгая моноидальная категория. Точнее сказать, я вообще плохо понимаю, что такое большая алгебра, градуированная моноидом. Я знаю большие алгебры, градуированные множествами. Это просто предаддитивные категории, без всякой моноидальности.

[hippie57.livejournal.com]

Ага, я пытался понять, что читать в той статье. Хорошкин интересуется ком-Ли двойственностью в характеристике и над целыми числами. Ну и для начала просто квадратичной двойственностью. Конецно, это двойственность алгебр с коалгебрами. И простейшие примеры над целыми числами приводят к кручению.

Предаддитивная категория -- это хорошо, наверное, в твоей задаче тебе это и нужно. Мне же нужна моноидальная ДГ-категория и Кошулева двойственность для нее. При этом по необходимости все условия -- настолько слабые, насколько возможно, посему она несторго моноидальная.

[(Anonymous)]

What about Lurie, DAG-VI p. 92?
V. Hinich

[hippie57.livejournal.com]

Well, I will take a look, thank you. I spoke with Lurie (rather than read his works up to DAG VI), and my impression is that Koszul duality for monoidal infinity-categories and categorical modules is tricky. Dennis has some examples where it just fails to work. That's why I think a more refined understanding of weak equivalences for categorical comodules over comonoidal infinity-categories (in the spirit of Lenya's work) is required. Also I would prefer DG-language to infinity-category one.

An example where the Koszul formalism does work: consider an algebraic group G. Sheaves on BG and sheaves on G are two Koszul dual (DG)-categories. One of the monoidal structures (actually, the comonoidal one) is given by pull-back under the group multiplication, the other one is just (outer?) tensor product. We get that the model category of DG-categories over BG is equivalent to the model category of DG-categories (co)acted by sheaves on G. Yet some examples very close to this one turn out to be tricky. One needs some formalism to deal with this stuff.