Про потенциалы
Mar. 11th, 2009 12:27 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicЕсть наука про матричные факторизации. В ней выбирается потенциал -- многочлен от нескольких коммутирующих переменных и рассматривается (Z/2Z-градуированная) CDG-алгебра с нулевым дифференциалом и элементом кривизны, равным потенциалу.
Есть наука про колчаны. В ней выбирается потенциал -- формальный степенной ряд из циклических слов, составленных из стрелок колчана (без соотношений). Рассматривается DG-алгебра Гинзбурга, связанная с таким потенциалом.
Это два совершенно разных потенциала и две совершенно разные науки? Или есть какая-то связь?
Есть наука про колчаны. В ней выбирается потенциал -- формальный степенной ряд из циклических слов, составленных из стрелок колчана (без соотношений). Рассматривается DG-алгебра Гинзбурга, связанная с таким потенциалом.
Это два совершенно разных потенциала и две совершенно разные науки? Или есть какая-то связь?
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2009-03-11 11:57 am (UTC)no subject
Date: 2009-03-11 01:18 pm (UTC)The C in "CDG-algebras" stands for "curved". A CDG-algebra is a triple (B,d,h) where B is a graded (or Z/2Z-graded) algebra, d is an odd derivation of B of degree 1, and h is an element of B_2, satisfying the equations d^2(x)=[h,x] for all x in B and d(h)=0. So d^2 is not zero (as usual in homological algebra) but the commutator with the "curvature element" h.
The typical examples of CDG-algebras are de Rham algebras corresponding to vector bundles with nonflat connections. Let M be an (affine algebraic or smooth) manifold, E be a vector bundle on M, and \nabla be a connection in E. Let \Omega be the algebra of differential forms on M with values in the vector bundle End(E) of endomorphisms of E. Then the curvature of \nabla is an element of \Omega_2, and the connection on End(E) induced by \nabla provides a de Rham differential on \Omega with a nonzero square. This is a CDG-algebra, hence the term "curvature element" for h.
A CDG-module M over a CDG-algebra B is a graded B-module endowed with an odd derivation d (satisfying the Leibniz rule together with the given derivation of B) satisfying the equation d^2(y) = hy for all y in M. CDG-modules form a DG-category, i.e., B-linear morphisms over B between two CDG-modules form a complex.
CDG-modules over the de Rham CDG-algebra corresponding to (M,E) are related via Koszul duality to complexes of modules over the ring D_{M,E} of differential operators acting on sections of E.
Now if h is a polynomial in several variables, then one can construct a Z/2-graded CDG-algebra by taking B to be the algebra of polynomials, d=0, and h as the curvature element. If the variables are even, one presumably takes B_1=0, too. I don't really know what matrix factorizations are, but my understanding is that they are Z/2-graded CDG-modules over this CDG-algebra for which the underlying graded B-module is free an finitely generated.
no subject
Date: 2009-03-11 01:49 pm (UTC)"and finitely generated"
no subject
Date: 2009-03-11 12:34 pm (UTC)no subject
Date: 2009-03-11 01:02 pm (UTC)no subject
Date: 2009-03-11 01:07 pm (UTC)no subject
Date: 2009-03-11 01:21 pm (UTC)no subject
Date: 2009-03-11 01:32 pm (UTC)no subject
Date: 2009-03-11 04:36 pm (UTC)Категорию матричных факторизаций можно рассматривать как категорификацию кольца Якоби потенциала (с смысле, кольцо Якоби - когомология Хохшильда категории матричных факторизаций). Есть ли аналогичная интерпретация категории колчана с потенциалом?
no subject
Date: 2009-03-11 05:11 pm (UTC)no subject
Date: 2009-03-11 05:42 pm (UTC)no subject
Date: 2009-03-11 05:47 pm (UTC)вот что Витя пишет:
Date: 2009-03-12 05:42 pm (UTC)kak-to ih svyazat'.
Raznitsa takaya: potentsial iz matrichnoy faktorizatsii
zadaet "teoriyu Landau-Ginzburga"= category of singularities
Orlova.
Potentsial, kotoryi ya izuchal v CY algebra - eto,
s fizicheskoy tochki zreniya, est' "nekommutativnaya incarnation"
nekoey funktsii na prostranstve parametrov teoriy
takoy, chto kriticheskie tochki etoy funktsii zadayut
"prostranstvo moduley"="prostranstvo deformatsiy"
zadannoy teorii, eg zadannoy category of singularities.
Konechno, deformiruya potentsial Landau-Ginzburga
mozhno deformirovat' teoriyu, poetomu svyaz' vidimo est'.
No yasnosti v moei golove vse-ravno netu...
Po krainei mere, Kapustin formal'nuyu svyaz' otritsaet.
Est' esche "tretiy " vid potentsiala:
kogomologii Grassmanniana est' koltso
mnogochlenov faktor po chastnym proizvodnym odnoy funktsii.
Eto ne ukladyvaetsya ni v odnu iz predyduschih shem.
V
Re: вот что Витя пишет:
Date: 2009-03-12 05:58 pm (UTC)Nelikvidoff.Ru - Продам неликвиды предприятий пленкосинтокар
Date: 2011-05-22 04:43 am (UTC)