Математика: кошулевы алгебры и рациональность

[posic]

Значит так: есть такое понятие, которое придумал такой Aldo Conca и соавторы, "кошулева фильтрация" они его назвали. Авторская терминология мне активно не нравится, поскольку слово фильтрация само по себе означает вполне определенную вещь, а "кошулева фильтрация" фильтрацией вовсе не является. Не говоря о том, что кошулевыми фильтрациями я сам хочу называть совсем другие штуки. Так что лучше я буду говорить "кошулево семейство идеалов".

Aldo Conca со товарищи, конечно, работали в коммутативной ситуации. Теперь Дима П. объяснил, что такое кошулево семейство левых идеалов некоммутативной алгебры.

Теорема: если (некоммутативная) алгебра допускает кошулево семейство левых идеалов, то (она кошулева, а также) ее ряд Пуанкаре рационален. Идеалы, входящие в семейство, тоже кошулевы и их ряды тоже рациональны.

Аналогичным образом можно определить понятие кошулева семейства модулей. Кошулево семейство идеалов -- это (примерно) то же самое, что кошулево семейство циклических модулей. Тогда все модули в кошулевом семействе имеют, что называется, линейные свободные резольвенты. Если в кошулевом семействе модулей над кошулевой алгеброй размерности нулевых компонент ограничены константой, то ряды Пуанкаре таких модулей рациональны.

Следствие: если последовательность размерностей компонент кошулевой алгебры или кошулева модуля ограничена, то она периодична.

Результаты эти замечательны не только сами по себе. В их доказательстве я впервые (наконец-то!) вижу, как можно использовать теоремы конечности числа кошулевых рядов Пуанкаре (доказываемые деформационными методами) -- для доказательства рациональности таких рядов.

Литература: A. Conca, M. Rossi, and G. Valla. Groebner flags and Gorenstein algebras. Compositio Math., 129, p.95-121 (2001).

Comments

Äà íó ÷òî Âû!

[french-man.livejournal.com]

ß âîâñå íå îãîð÷àþñü. Ó ìàíÿ âñåãäà áûëè ïðîáëåìû ñ îïðåäåëåíèÿìè. ß íå èñêëþ÷àþ äàæå, ÷òî ÿ çíàþ, ÷òî òàêîå êîøóëåâîñòü, íî íå çíàþ, ÷òî îíî òàê íàçûâàåòñÿ.

Ïîæàëóé, íàñ òóò ìàëîâàòî äëÿ êîìüþíèòè ðó-ìàò (÷òî-òî â ýòîì åñòü ñòðóãàöêîå). Òàê ÷òî ïîñòèòå, ïîæàëóéñòà, â ëåíòó. Íó, ñ ëæ-êàòîì: êîìó íåèíòåðåñíî, íå áóäåò îòêðûâàòü.

Ñ óâàæåíèåì, Ôðàíöóçèê.

Re: Äà íó ÷òî Âû!

[posic.livejournal.com]

Íåîòðèöàòåëüíî ãðàäóèðîâàííîå àññîöèàòèâíîå êîëüöî A = A_0 + A_1 + A_2 + ... êîøóëåâî, åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ ïëîñêèì ìîäóëåì íàä À_0 ñëåâà ëèáî ñïðàâà è ãðàäóèðîâàííàÿ àáåëåâà ãðóïïà Tor_i^A(A_0,A_0) ñîñðåäîòî÷åíà â ãðàäóèðîâêå i äëÿ êàæäîãî i. ×àùå âñåãî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà A_0 ïîëå, à A -- àëãåáðà íàä íèì. Êîøóëåâî êîëüöî âñåãäà êâàäðàòè÷íî, òî åñòü ïîðîæäåíî A_1 ñ ñîîòíîøåíèÿìè ñòåïåíè 2.

Ó ìåíÿ åñòü ãèïîòåçà, ÷òî ñòåïåííîé ðÿä -- ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ðàçìåðíîñòåé êîìïîíåíò A_i -- âñåãäà ðàöèîíàëåí (åñëè A àëãåáðà íàä ïîëåì A_0 ñ êîíå÷íîìåðíûìè êîìïîíåíòàìè). Åñòü òåîðåìà, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîé ðàçìåðíîñòè A_1 ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ òàêèõ ðÿäîâ äëÿ êîøóëåâûõ àëãåáð êîíå÷íî (ýòî íåòðèâèàëüíî, ïîñêîëüêó ðàññìàòðèâàåìûå àëãåáðû íåêîììóòàòèâíû -- äëÿ ïðîèçâîëüíûõ êâàäðàòè÷íûõ àëãåáð âñå ýòî àáñîëþòíî íåâåðíî).

Ëèòåðàòóðà: (1) Manin. Some remarks on Koszul algebras and quantum groups. Ann. Inst. Fourier, 1987. (2) Beilinson, Ginzburg, Soergel. Koszul duality patterns in representation theory. Journ. AMS, 1996.

Ëåíÿ.

[french-man.livejournal.com]

Ñïàñèáî!

Ôð,

Re: Äà íó ÷òî Âû!

[veroniq.livejournal.com]

zato nayvanie uyh bol'no yamanchivoe :-)
interesno, a skol´ko-taki nas tuta?

Re: Äà íó ÷òî Âû!

[french-man.livejournal.com]

Àêòèâíî ðàáîòàþùèõ ïðîôåññèîíàëîâ - ñîâñåì íåìíîãî: posic, tiphareth, udod, kaledin, sova, ìû ñ òîáîé, íó åùå, êàæåòñÿ, nemalevich. Áûë åùå serguei íî îí óäàëèëñÿ. Ïëþñ åñòü ëþäè îáðàçîâàííûå, íî àêòèâíîé ìàòåìàòèêîé íå çàíèìàþùèåñÿ: aculeata, dima_l è, êîíå÷íî, avva. Ïëþñ èíòåðåñóþùèåñÿ, ñ áîëüøèì èëè ìåíüøèì óðîâíåì îáðàçîâàíèÿ, òàêèå êàê silpol, zanuda, maria_d. (Ëåíÿ, åñëè ÷åãî-òî ãîíþ, òî ïîïðàâüòå, ïîæàëóéñòà.)

Òàê èëè èíà÷å, íå âèæó ñìûñëà îðãàíèçîâûâàòü åùå îäíî ìåðòâîå êîìüþíèòè, Íî åñëè õî÷åøü çàíÿòüñÿ, ìîãó äàòü êîä.

Re: Äà íó ÷òî Âû!

[veroniq.livejournal.com]

mne prosto nazvanie ponravilos'
a mertvye communities - deistvitel'no skuchno
kto hochet - itak v dnevnikah pishut :-)

a nemalevich, kak i serguei, moi odnokursniki :-)

Re: Äà íó ÷òî Âû!

[sova.livejournal.com]

dp has something to say too.

Íàäî çàâåñòè friends groups...

Re: Äà íó ÷òî Âû!

[posic.livejournal.com]

Friend groups ýòî òàêàÿ âåùü, êîòîðóþ êàæäûé ñàì ñåáå çàâîäèò, êàê ÿ ïîíèìàþ (ó Âàñ åñòü ôðåíäû, è âû ãðóïïèðóåòå èõ â ãðóïïû).

Ìîæíî áûëî áû ñîçäàòü êîììóíó ru_math, êàê òóò ïðåäëàãàëîñü, è ïîñòèòü òóäà ññûëêè íà ìàòåìàòè÷åñêèå çàïèñè â äíåâíèêàõ (íàïðèìåð). Åñëè åñòü òàêîå æåëàíèå.

Re: Äà íó ÷òî Âû!

[posic.livejournal.com]

Ñäåëàíî

Re: Äà íó ÷òî Âû!

[french-man.livejournal.com]

Êîíå÷íî. Íî ýòî ïèñàëîñü åùå äî òîãî, êàê ÿ óçíàë î ìàòåìàòè÷åñêèõ èíòåðåñàõ dp.