posic | Математика: кошулевы алгебры и рациональность

Значит так: есть такое понятие, которое придумал такой Aldo Conca и соавторы, "кошулева фильтрация" они его назвали. Авторская терминология мне активно не нравится, поскольку слово фильтрация само по себе означает вполне определенную вещь, а "кошулева фильтрация" фильтрацией вовсе не является. Не говоря о том, что кошулевыми фильтрациями я сам хочу называть совсем другие штуки. Так что лучше я буду говорить "кошулево семейство идеалов".

Aldo Conca со товарищи, конечно, работали в коммутативной ситуации. Теперь Дима П. объяснил, что такое кошулево семейство левых идеалов некоммутативной алгебры.

Теорема: если (некоммутативная) алгебра допускает кошулево семейство левых идеалов, то (она кошулева, а также) ее ряд Пуанкаре рационален. Идеалы, входящие в семейство, тоже кошулевы и их ряды тоже рациональны.

Аналогичным образом можно определить понятие кошулева семейства модулей. Кошулево семейство идеалов -- это (примерно) то же самое, что кошулево семейство циклических модулей. Тогда все модули в кошулевом семействе имеют, что называется, линейные свободные резольвенты. Если в кошулевом семействе модулей над кошулевой алгеброй размерности нулевых компонент ограничены константой, то ряды Пуанкаре таких модулей рациональны.

Следствие: если последовательность размерностей компонент кошулевой алгебры или кошулева модуля ограничена, то она периодична.

Результаты эти замечательны не только сами по себе. В их доказательстве я впервые (наконец-то!) вижу, как можно использовать теоремы конечности числа кошулевых рядов Пуанкаре (доказываемые деформационными методами) -- для доказательства рациональности таких рядов.

Литература: A. Conca, M. Rossi, and G. Valla. Groebner flags and Gorenstein algebras. Compositio Math., 129, p.95-121 (2001).