Математика: кошулевы алгебры и рациональность

[posic]

Значит так: есть такое понятие, которое придумал такой Aldo Conca и соавторы, "кошулева фильтрация" они его назвали. Авторская терминология мне активно не нравится, поскольку слово фильтрация само по себе означает вполне определенную вещь, а "кошулева фильтрация" фильтрацией вовсе не является. Не говоря о том, что кошулевыми фильтрациями я сам хочу называть совсем другие штуки. Так что лучше я буду говорить "кошулево семейство идеалов".

Aldo Conca со товарищи, конечно, работали в коммутативной ситуации. Теперь Дима П. объяснил, что такое кошулево семейство левых идеалов некоммутативной алгебры.

Теорема: если (некоммутативная) алгебра допускает кошулево семейство левых идеалов, то (она кошулева, а также) ее ряд Пуанкаре рационален. Идеалы, входящие в семейство, тоже кошулевы и их ряды тоже рациональны.

Аналогичным образом можно определить понятие кошулева семейства модулей. Кошулево семейство идеалов -- это (примерно) то же самое, что кошулево семейство циклических модулей. Тогда все модули в кошулевом семействе имеют, что называется, линейные свободные резольвенты. Если в кошулевом семействе модулей над кошулевой алгеброй размерности нулевых компонент ограничены константой, то ряды Пуанкаре таких модулей рациональны.

Следствие: если последовательность размерностей компонент кошулевой алгебры или кошулева модуля ограничена, то она периодична.

Результаты эти замечательны не только сами по себе. В их доказательстве я впервые (наконец-то!) вижу, как можно использовать теоремы конечности числа кошулевых рядов Пуанкаре (доказываемые деформационными методами) -- для доказательства рациональности таких рядов.

Литература: A. Conca, M. Rossi, and G. Valla. Groebner flags and Gorenstein algebras. Compositio Math., 129, p.95-121 (2001).

Comments

[ella-p.livejournal.com]

Ýòî ïî-êèòàéñêè.
À ïåðåâîä?

[posic.livejournal.com]

Ýòî àáñîëþòíî íåïåðåâîäèìî. Ìàêñèìóì, ìîæíî èíîãäà ïðèäóìàòü êàêîé-íèáóäü èãðóøå÷íûé ïðèìåð, â ÷åì-òî áëèçêèé ê äàííîìó òîïèêó.  çàâèñèìîñòè îò òîãî, íà êàêîì óðîâíå Âû íàõîäèòåñü -- à ýòîãî ÿ íå çíàþ. Êàêèå èç óïîìèíàåìûõ ñëîâ Âû ïîíèìàåòå? ×òî òàêîå "èäåàë" çíàåòå? ×òî òàêîå "ñòåïåííîé ðÿä"?

[ella-p.livejournal.com]

Èäåàë íå çíàþ, ñòåïåííîé ðÿä çíàþ )))
Ìîé óðîâåíü òàê ñåáå - ôèçìàòøêîëà, ïðàâäà, ëó÷øàÿ â Ïèòåðå, ïëþñ îáû÷íûé êóðñ ìàòåìàòèêè äëÿ ýêîíîìèñòîâ - èíòåãðàëû, ìàòðèöû, ëèíåéíîå ïðîãðàììèðîâàíèå, ñòàòèñòèêà, çà÷àòêè òåîðèè èãð. Áîëüøå íèêàêèõ çíàíèé íåò, äà è èç ýòèõ íå âñå íàõîäÿòñÿ â àêòèâíîì ñîñòîÿíèè.

[posic.livejournal.com]

À êîìáèíàòîðèêà? Åñòü ìíîãî êàðàíäàøåé ïÿòè öâåòîâ: ñèíèå, çåëåíûå, êðàñíûå, æåëòûå, ÷åðíûå. Íè÷åì, êðîìå öâåòà, êàðàíäàøè íå îòëè÷àþòñÿ, ò.å. âñå ñèíèå êàðàíäàøè îäèíàêîâûå, âñå çåëåíûå êàðàíäàøè îäèíàêîâûå, è ò.ä. Ñêîëüêî íàáîðîâ èç òðåõ ðàçíîöâåòíûõ êàðàíäàøåé ìîæíî ñîñòàâèòü? (Ðàçíîöâåòíûõ -- â ñìûñëå, òàêèõ, ÷òî âñå êàðàíäàøè â íàáîðå ðàçíûå.)

[ella-p.livejournal.com]

5*4*3

[posic.livejournal.com]

Ïîãîäèòå-ïîãîäèòå. À íàáîðîâ èç ïÿòè ðàçíîöâåòíûõ êàðàíäàøåé òîãäà ñêîëüêî áóäåò -- 5*4*3*2*1, äà? À ìíå êàæåòñÿ, ÷òî åñòü òîëüêî îäèí òàêîé íàáîð. Âñåãî ïÿòü öâåòîâ, çíà÷èò ïî îäíîìó êàðàíäàøó êàæäîãî öâåòà íàäî âçÿòü, è âñå. Íèêàêîãî âûáîðà íåò.

[ella-p.livejournal.com]

Àààà... 5*4*3/3*2*1

[ella-p.livejournal.com]

Òüôó. Âñå çàáûëà. äàæå êàê ïèñàòü. Ñêîáêà òàì.

[posic.livejournal.com]

= 10. Ýòî ïðàâèëüíî. À ñêîëüêî íàáîðîâ èç äâóõ íå îáÿçàòåëüíî ðàçíîöâåòíûõ êàðàíäàøåé?

[ella-p.livejournal.com]

5*5/2? Òàê ñ õîäó è íå âñïîìíèøü.

[posic.livejournal.com]

 ñìûñëå, äâåíàäöàòü ñ ïîëîâèíîé âàðèàíòîâ? Âû äóìàåòå, òàê áûâàåò?

[ella-p.livejournal.com]

Òüôó. Äâà ÷àñà íî÷è.
Âñå âàðèàíòû ïðåäñòàâëåíû â òàáëè÷êå 5*5. Íî îäíîöâåòíûå â íåå ïîïàëè ïî îäíîìó ðàçó, à ðàçíîöâåòíûå - ïî äâà ðàçà. 5*5 - 4-3-2-1.
ßâíî íîðìàëüíàÿ ôîðìóëà âûãëÿäèò èíà÷å. 5+4+3+2+1. Ôàêòîðèàë.

[posic.livejournal.com]

Ïðàâèëüíî. Çäîðîâî! Òîëüêî ôàêòîðèàë -- ýòî ïðîèçâåäåíèå, à íå ñóììà.  ìîåì êîììåíòå îò 14:56 âûøå ïî òðåäó íàïèñàí ôàêòîðèàë. À áûñòðî ñîñ÷èòàòü ñóììó âñåõ ÷èñåë îò îäíîãî äî ïÿòè Âû óìååòå? À îò îäíîãî äî ñòà?

[ella-p.livejournal.com]

(1+100)*100/2

[posic.livejournal.com]

Äà. À ñêîëüêî áûâàåò íàáîðîâ èç òðåõ íå îáÿçàòåëüíî ðàçíîöâåòíûõ êàðàíäàøåé? Ýòîò âîïðîñ, ìíå êàæåòñÿ, ÷óòü ïîòðóäíåå ïðåäûäóùèõ.

[ella-p.livejournal.com]

íå ïîíÿëà âîïðîñ. Êàêèõ íàáîðîâ? Ïÿòü öâåòîâ - èç íèõ íàáîðû ïî òðè êàêèõ óãîäíî?

[posic.livejournal.com]

Äà-äà. Âñå, ÷òî íå óïîìÿíóòî, îñòàåòñÿ òàêèì æå, êàê áûëî âûøå ïî òðåäó.

[ella-p.livejournal.com]

êîëè÷åñòâî "ðàçíîöâåòíûõ" íàáîðîâ èç 5 ïî 3 + (êîëè÷åñòâî "ðàçíîöâåòíûõ" íàáîðîâ èç 5 ïî 2)*2 + 3

[posic.livejournal.com]

Ìîæíî òàê ñêàçàòü, äà. Òîëüêî + 5, à íå + 3 â êîíöå (ÿ äóìàþ).

[posic.livejournal.com]

Íó õîðîøî. Âîò Âàì ìàëåíüêàÿ òåîðåìà. Íàïèøåì òàêîé ñòåïåííîé ðÿä:

1 + (÷èñëî öâåòîâ, ò.å., 5)*z + (÷èñëî íàáîðîâ èç äâóõ êàðàíäàøåé)*z^2 + (÷èñëî íàáîðîâ èç òðåõ êàðàíäàøåé)*z^3 + (÷èñëî íàáîðîâ èç ÷åòûðåõ êàðàíäàøåé)*z^4 + ... è ò.ä.

Çäåñü êàðàíäàøè â íàáîðàõ ìîãóò áûòü îäèíàêîâûìè, òàê ÷òî ÷èñëî êàðàíäàøåé â íàáîðå ìîæåò áûòü ëþáûì, òàê ÷òî ðÿä áåñêîíå÷åí. Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ýòîò ðÿä ðàöèîíàëåí, òî åñòü ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ îò z. Íà ñàìîì äåëå, îí äàæå ðàâåí åäèíèöå, äåëåííîé íà íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè 5.

Ïîïðîáóéòå ïðîâåðèòü ýòî â ñàìîì ïðîñòîì ñëó÷àå, êîãäà êîãäà êàðàíäàøíûõ öâåòîâ áûëî íå 5, à âñåãî 2.

[french-man.livejournal.com]

Ýëëà, íå ðàñòðàèâàéòåñü!

ß, âðîäå, òèïà ìàòåìàòèê, à íè õ.ÿ â ýòîì íå ïîíèìàþ.

[posic.livejournal.com]

Äà, êîíå÷íî. ß ïðèäóìàë: âïðåäü áóäó ñòàâèòü òàêèå çàïèñè âíå ëåíò, ÷òîáû íèêîãî íå îãîð÷àòü.

Äà íó ÷òî Âû!

[french-man.livejournal.com]

ß âîâñå íå îãîð÷àþñü. Ó ìàíÿ âñåãäà áûëè ïðîáëåìû ñ îïðåäåëåíèÿìè. ß íå èñêëþ÷àþ äàæå, ÷òî ÿ çíàþ, ÷òî òàêîå êîøóëåâîñòü, íî íå çíàþ, ÷òî îíî òàê íàçûâàåòñÿ.

Ïîæàëóé, íàñ òóò ìàëîâàòî äëÿ êîìüþíèòè ðó-ìàò (÷òî-òî â ýòîì åñòü ñòðóãàöêîå). Òàê ÷òî ïîñòèòå, ïîæàëóéñòà, â ëåíòó. Íó, ñ ëæ-êàòîì: êîìó íåèíòåðåñíî, íå áóäåò îòêðûâàòü.

Ñ óâàæåíèåì, Ôðàíöóçèê.

Re: Äà íó ÷òî Âû!

[posic.livejournal.com]

Íåîòðèöàòåëüíî ãðàäóèðîâàííîå àññîöèàòèâíîå êîëüöî A = A_0 + A_1 + A_2 + ... êîøóëåâî, åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ ïëîñêèì ìîäóëåì íàä À_0 ñëåâà ëèáî ñïðàâà è ãðàäóèðîâàííàÿ àáåëåâà ãðóïïà Tor_i^A(A_0,A_0) ñîñðåäîòî÷åíà â ãðàäóèðîâêå i äëÿ êàæäîãî i. ×àùå âñåãî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà A_0 ïîëå, à A -- àëãåáðà íàä íèì. Êîøóëåâî êîëüöî âñåãäà êâàäðàòè÷íî, òî åñòü ïîðîæäåíî A_1 ñ ñîîòíîøåíèÿìè ñòåïåíè 2.

Ó ìåíÿ åñòü ãèïîòåçà, ÷òî ñòåïåííîé ðÿä -- ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ðàçìåðíîñòåé êîìïîíåíò A_i -- âñåãäà ðàöèîíàëåí (åñëè A àëãåáðà íàä ïîëåì A_0 ñ êîíå÷íîìåðíûìè êîìïîíåíòàìè). Åñòü òåîðåìà, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîé ðàçìåðíîñòè A_1 ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ òàêèõ ðÿäîâ äëÿ êîøóëåâûõ àëãåáð êîíå÷íî (ýòî íåòðèâèàëüíî, ïîñêîëüêó ðàññìàòðèâàåìûå àëãåáðû íåêîììóòàòèâíû -- äëÿ ïðîèçâîëüíûõ êâàäðàòè÷íûõ àëãåáð âñå ýòî àáñîëþòíî íåâåðíî).

Ëèòåðàòóðà: (1) Manin. Some remarks on Koszul algebras and quantum groups. Ann. Inst. Fourier, 1987. (2) Beilinson, Ginzburg, Soergel. Koszul duality patterns in representation theory. Journ. AMS, 1996.

Ëåíÿ.

[french-man.livejournal.com]

Ñïàñèáî!

Ôð,

Re: Äà íó ÷òî Âû!

[veroniq.livejournal.com]

zato nayvanie uyh bol'no yamanchivoe :-)
interesno, a skol´ko-taki nas tuta?

Re: Äà íó ÷òî Âû!

[french-man.livejournal.com]

Àêòèâíî ðàáîòàþùèõ ïðîôåññèîíàëîâ - ñîâñåì íåìíîãî: posic, tiphareth, udod, kaledin, sova, ìû ñ òîáîé, íó åùå, êàæåòñÿ, nemalevich. Áûë åùå serguei íî îí óäàëèëñÿ. Ïëþñ åñòü ëþäè îáðàçîâàííûå, íî àêòèâíîé ìàòåìàòèêîé íå çàíèìàþùèåñÿ: aculeata, dima_l è, êîíå÷íî, avva. Ïëþñ èíòåðåñóþùèåñÿ, ñ áîëüøèì èëè ìåíüøèì óðîâíåì îáðàçîâàíèÿ, òàêèå êàê silpol, zanuda, maria_d. (Ëåíÿ, åñëè ÷åãî-òî ãîíþ, òî ïîïðàâüòå, ïîæàëóéñòà.)

Òàê èëè èíà÷å, íå âèæó ñìûñëà îðãàíèçîâûâàòü åùå îäíî ìåðòâîå êîìüþíèòè, Íî åñëè õî÷åøü çàíÿòüñÿ, ìîãó äàòü êîä.

Re: Äà íó ÷òî Âû!

[veroniq.livejournal.com]

mne prosto nazvanie ponravilos'
a mertvye communities - deistvitel'no skuchno
kto hochet - itak v dnevnikah pishut :-)

a nemalevich, kak i serguei, moi odnokursniki :-)

Re: Äà íó ÷òî Âû!

[sova.livejournal.com]

dp has something to say too.

Íàäî çàâåñòè friends groups...

Re: Äà íó ÷òî Âû!

[posic.livejournal.com]

Friend groups ýòî òàêàÿ âåùü, êîòîðóþ êàæäûé ñàì ñåáå çàâîäèò, êàê ÿ ïîíèìàþ (ó Âàñ åñòü ôðåíäû, è âû ãðóïïèðóåòå èõ â ãðóïïû).

Ìîæíî áûëî áû ñîçäàòü êîììóíó ru_math, êàê òóò ïðåäëàãàëîñü, è ïîñòèòü òóäà ññûëêè íà ìàòåìàòè÷åñêèå çàïèñè â äíåâíèêàõ (íàïðèìåð). Åñëè åñòü òàêîå æåëàíèå.

Re: Äà íó ÷òî Âû!

[posic.livejournal.com]

Ñäåëàíî

Re: Äà íó ÷òî Âû!

[french-man.livejournal.com]

Êîíå÷íî. Íî ýòî ïèñàëîñü åùå äî òîãî, êàê ÿ óçíàë î ìàòåìàòè÷åñêèõ èíòåðåñàõ dp.

[ella-p.livejournal.com]

Ðàññòðàèâàòüñÿ ïîçäíî. ß, îêàçûâàåòñÿ, çàáûëà, êàê ðåøàþò îëèìïèàäíûå çàäà÷êè äëÿ 5 êëàññà. Ïðàâäà, ýòî áûëî â ñèëüíî íî÷íîå âðåìÿ, ñåé÷àñ óæå îêñòèëàñü ñëåãêà. Âçÿëà ó ñûíà Ïåðåëüìàíà, ñèæó, áàëäåþ. Áîëüøîå è çàáûòîå óäîâîëüñòâèå.