Почему математические доказательства часто бывают непонятны?

[posic]

http://leblon.livejournal.com/66834.html?nc=3

Мой ответ таков: в математике существует tradeoff между сложностью доказательств и сложностью определений. Чтобы дать ясные, прозрачные доказательства, часто бывает нужно ввести определения более высокого уровня абстракции. Последствия этого обстоятельства проявляются в двух формах.

Во-первых, для оригинальных математических работ, продвигающих передний край математического знания, проблема состоит в том, что определения, необходимые для получения понятных доказательств, просто еще не придуманы. Математик сталкивается с выбором между публикацией непонятного доказательства и отказом от немедленной публикации в пользу дальнейшей работы над предметом с целью нахождения проясняющих определений. Поскольку о математических работах традиционно судят в первую очередь по тому, что в них доказано, и поскольку придумать продуктивные определения, как правило, труднее, чем найти хоть какое-нибудь, пусть даже запутанное, доказательство, выбор зачастую делается в пользу публикации непонятных доказательств.

Во-вторых, авторы учебников и других текстов по уже достаточно хорошо понятым разделам математики сталкиваются с необходимостью выбора уровня абстракции для своего изложения. Если автор сам не владеет абстрактными определениями, или если он не предполагает способности ими овладеть за своими читателями, он может предпочесть такой уровень абстракции, на котором дать понятные доказательства невозможно. Парадоксальные последствия такого выбора состоят в том, что материалом не овладевают не только слабые студенты, но и сильные, хотя и те и другие, конечно, сдают все положенные экзамены.

Типичный пример: чтобы объяснить, почему определитель произведения матриц равен произведению определителей, нужно ввести понятие внешней алгебры, или, как минимум, кососимметричной полилинейной формы. Не существует понятного доказательства, не использующего этих определений, хотя какие-то непонятные или неполные доказательства, естественно, даются в стандартных курсах.

Comments

[birdwatcher.livejournal.com]

Спасибо, очень интересно -- я никогда не задумывался о том, понятно ли мне, почему именно определитель произведения равен произведению определителей, и должен теперь признать, что да, совершенно непонятно.

[leblon.livejournal.com]

Моя версия ответа.

[chaource.livejournal.com]

Да, именно съ опредѣлителями у меня впервые возникла проблема. Я не могъ понять, зачѣмъ нужны опредѣлители. Достаточно было бы сказать, что опредѣлитель даётъ увеличеніе объёма при линейномъ преобразованіи, или что-то въ этомъ родѣ - всё сразу стало бы ясно (включая умноженіе опредѣлителей), но этого почему-то нигде не говорилось. Опредѣлитель - это такая функція отъ элементовъ матрицы, удовлетворяющая списку свойствъ.

Кстати, въ учебникѣ линейной алгебры (Беклемишева), по которому меня учили, доказательство мультипликативнаго свойства опредѣлителей дано непосредственно черезъ формулу съ суммой по перестановкамъ. Я радъ, что не долженъ былъ изучать этого доказательства.

А вотъ замѣчательный примѣръ, интерпретацію котораго оставляю на ваше усмотрѣніе.

Таблица коэффициентов преобразования называется матрицей преобразования. Определитель, все элементы которого совпадают с элементами некоторой матрицы, называется определителем этой матрицы. -- Бaтыгин В.В., Тoптыгин И.Н. Cборник задач по электродинамике. Под редакцией Бредoва M.M.

А ещё въ какой-то совѣтской книжкѣ по физикѣ я видѣлъ примѣрно такое "опредѣленіе":

Контравариантнымъ векторомъ называется совокупность величинъ, преобразующихся при замѣне осей координатъ по такой-то формулѣ (...). Базисомъ называется наборъ изъ линейно независимыхъ векторовъ. Ковариантнымъ векторомъ называется совокупность величинъ, которые преобразуются какъ базисы.

[posic.livejournal.com]

Все же слова про объем -- это иллюстрация, а не доказательство мультипликативности определителей. Теория определителей призвана служить основанием для определения понятия объема. Потом, не все матрицы вещественные, бывают и комплексные.

[chaource.livejournal.com]

Ты правъ, конечно. Но понятіе объёма знакомо каждому, поэтому я бы начиналъ съ него.

Остаётся ещё такая загадка. Почему понятіе объёма опирается именно на кососимметричныя n-формы, а не, скажемъ, на симметричные или на какія-то другія. Гдѣ въ понятіи объёма скрыта кососимметричность?

[angel-ext.livejournal.com]

"Почему понятіе объёма опирается именно на кососимметричныя n-формы"?

Тут действительно зарыта какая-то тайна. Можно предложить такое объяснение, для простоты в случае площади. Рассмотрим площадь A(u,v) параллелограмма, натянутого на векторы u,v. Ясно, что если u=v, площадь должна быть равна нулю. Если соединить это с линейностью площади A(u,v) по u,v, отсюда немедленно следует кососимметричность. Остается мотивировать линейность, и, в том числе, то, что площадь бывает отрицательна. Возможно, Грассманн умел это делать, но его собственные сочинения не слишком понятны, а попытки переизложить его идеи - слишком кратки.

[angel-ext.livejournal.com]

Мне кажется, вашим соображениям, с которыми я полностью согласен, созвучна следующая цитата из Вальдхаузена (из статьи "Algebraic K-theory of spaces").

"The first part of the paper, on which everything else depends, may perhaps look a little frightening because of the abstract language that it uses throughout. This is unfortunate, but there is no way out. It is not the purpose of the abstract language to strive for great generality. The purpose is rather to simplify proofs, and indeed to make some proofs understandable at all. The reader is invited to run the following test: take theorem 2.2.1 (this is about the worst case), translate the proof into not using the abstract language, and then try to communicate it to somebody else."

[angel-ext.livejournal.com]

Ваши пожелания оправданы и осуществимы в рамках установившейся теории, когда нужды в новых определениях нет. Если мы работаем с компактными группами Ли, то наши рассуждения действительно часто можно иллюстрировать примером SU(2), а определение группы Ли служит одним из определений, необходимых для получения понятных доказательств. Некоторые авторы приводят доказательства только для SU(n), руководствуясь более-менее вашими соображениями. Должен сказать, что такие изложения оставляют у меня впечатление непонятных: специфика SU(n) используется вовсю, и остается непонятным, насколько это существенно (обычно совсем не существенно).

Кроме того, бывают результаты, для которых нет примеров, несмотря на то, что в конце имеется почти числовой ответ (скажем, конечно порожденная абелева группа). Или, если угодно, рассмотрение простейшего примера требует перехода на новый уровень абстракции, к новым определениям. Именно так обстоит дело в ситуации Вальдхаузена (http://posic.livejournal.com/232453.html?thread=815109#t815109).

[ayudug.livejournal.com]

Мне все же кажется что бывает так что доказательство суть километры оценок и никакие определения не помогут.

[marina_p]

Такие доказательства нам не нужны :-)

[ayudug.livejournal.com]

Что не отменяет факта их существования :-)

[marina_p]

У меня сложилось впечатление, что есть люди с разным складом мышления. Одним понятнее, когда меньше абстракции и по минимуму определений новых понятий, но много примеров (и, естественно, длинные запутанные доказательства -- но их это не пугает). А другим понятнее, когда есть ясная общая теория, в которую всё укладывается (пусть и с кучей новых определений).

Хорошо бы, чтобы у студентов был выбор. В вашем примере страдают студенты второго типа (я отношусь к ним :)

[chaource.livejournal.com]

Линейность объёма по векторамъ, на которые натянутъ параллелепипедъ, можно мотивировать элементарнымъ геометрическимъ построеніемъ: если одинъ изъ векторовъ умножается на число, то вѣсь объёмъ тоже долженъ умножаться на это число, и такъ же можно мотивировать линейность при сложеніи векторовъ (нарисовать картинку, которая показываетъ, что площади складываются). Но линейность уже позволяетъ поменять знакъ у одного изъ векторовъ (или домножить векторъ на комплексное число) и, слѣдовательно, заставляетъ насъ разсматривать "оріентированный" объёмъ, который бываетъ и отрицательнымъ, и положительнымъ, и комплекснымъ, если угодно. Тайна для меня въ томъ, что объёмъ почему-то оказывается оріентированнымъ, хотя интуитивно это далеко не очевидно, а "обычный", неоріентированный объёмъ - оказывается не фундаментальнымъ понятіемъ, а какой-то величиной, уродливымъ образомъ полученной изъ оріентированнаго объёма.

[angel-ext.livejournal.com]

Линейность объема при умножении на положительное число - свойство не очень очевидное. Мы к нему привыкли, а древние греки считали, что его нужно доказывать. "Теория пропорций" Евдокса (т.е., по существу, теория вещественных чисел и пределов Дедекинда), на которой основывается вычисление Евклидом объема треугольной пирамиды, не нужна, если принять линейность при умножении в качестве аксиомы.

Линейность при сложении действительно можно обосновать, по крайней мере для площадей, элементарно-геометрическими рассуждениями.

После этого остается главная загадка, о которой вы и говорите: линейность при умножении на отрицательное число, или равноценная ей ориентированность объема.

Я подозреваю, отчасти на основе перелистывания Грассманна (в дополнение к современным изложениям), что никакой мотивировки для этого нет. Точнее, мотивировка состоит в том, что ориентированный объем обладает хорошими алгебраическими свойствами (а неориентированный - нет). Что возвращает нас на исходную позицию: мультипликативность определителя приходится постулировать (как минимум при умножении на -1).

[posic.livejournal.com]

Хорошо бы, чтобы у студентов был выбор, да.

[posic.livejournal.com]

Определения, предположительно, помогут, когда их придумают. Пока их не придумали, они не могут помочь.

[posic.livejournal.com]

По-моему, первичен тот факт, что пространтство кососимметрических n-форм на n-мерном пространстве одномерно. Отсюда уже проистекает и теория определителей, и связь с объемами (пространство объемов тоже одномерно).

[chaource.livejournal.com]

Есть и другой, важный на мой взглядъ, вопросъ. Насколько важно всё мотивировать и объяснить? Необходимо ли оставить нѣкоторую часть матеріала необъяснённой, чтобы студентъ "дошёлъ" самъ? Теряемъ ли мы студентовъ, которые сами не "дойдутъ", но могли бы понять матеріалъ послѣ болѣе подробнаго объясненія?

Въ нѣкоторыхъ книгахъ половина матеріала не объясняется или приводится безъ доказательства, вмѣсто этого материалъ переводится въ "упражненія" (думаю, ихъ никто не дѣлаетъ самостоятельно, а просто читаютъ формулировки). У меня иногда возникаетъ впечатленіе, что это дѣлается авторами по лѣни или же по традиціи - лучше ужъ не писать ничего, или приводить всѣ рѣшенія "упражненій". Вѣрно ли это? Помогаютъ ли такія "упражненія"?

[posic.livejournal.com]

Я когда учился в 9-м классе, читал книжку Винберга и Онищика "Семинар по алгебраическим группам и группам Ли" (старое издание, существенно менее объемное, чем появившееся позднее новое). Там, хотя были и теоремы с доказательствами, большая часть материала излагалась в виде последовательности задач, к более трудным из которых давались указания. И я таки все эти задачи решал, хотя, конечно, в указания первым делом всегда заглядывал. Не решая все или почти все задачи, эту книжку читать невозможно было бы. Бывают и другие такие книжки, хотя их и мало (например, я еще раньше читал книжку Алексеева "Теорема Абеля в задачах и решениях"). Похожий жанр представляли собой "листочки" по мат. анализу и т.п. в некоторых классах 57-й школы, где преподавали лучше, чем у нас.

Более стандартный вариант -- это, действительно, россыпь (мало связанных между собой) упражнений в конце каждого параграфа книги. Так написаны книги Бурбаки, а также многие учебники по продвинутым областям математики, такие как "Коммутативная алгебра" Атьи и Макдональда или "Алгебраическая геометрия" Хартсхорна. Последние две книги я читал (вторую -- частично), решая упражнения. По-моему, решать такие упражнения весьма полезно, если хочешь овладеть материалом; некоторый недостаток заключается, по-моему, в том, что придуманные самостоятельно доказательства забываются еще быстрее, чем прочитанные в книге. Также такая россыпь упражнений очень полезна, как справочный материал: обычно к упражнениям даются достаточные указания, чтобы, при необходимости, можно было по ним разобраться в отдельно взятом вопросе.

Так что да, некоторые люди упражнения решают, и им это помогает; а иногда упражнения немного помогают, даже если их не решать -- вот пример.

[chaource.livejournal.com]

Ну въ школѣ - это да, я тоже помню про себя, читалъ какія-то книги и всё рѣшалъ. А послѣ школы? Вотъ напримѣръ сейчасъ, сталъ бы ты такое читать и всѣ упражненія рѣшать, если понадобится изучить новую область?

[posic.livejournal.com]

Хартсхорна я читал и решал уже в университете. Но вообще да, с возрастом начинаешь лениться учиться как следует. Что не есть хорошо. Но упражнения все равно полезны: даже если не решать все подряд, можно решать те, которые нужны для чего-то.

[aron-turgenev.livejournal.com]

Классические понятия имеют свою глубину, но ее надо уметь видеть. Например, мультипликативность определителя для матриц общего положения можно доказывать через разложение матрицы в произведение Гаусса.

[mathreader.livejournal.com]

Винберг-Онищик в этом смысле очень хорошая книга. В ней достигнут баланс текста, в котором подчеркнута важность теорем и следствий, -- и задач для самостоятельного решения.

Книжка "Теорема Абеля", а также Мишины листики страдают тем, что даже проработав их все, не чувствуется что же в этом лесу упражнений главное, а что нет. В результате -- каша в голове и все забывается очень быстро.

[posic.livejournal.com]

Это не пример глубины каких-либо понятий. Это просто еще один пример малопонятного и неполного доказательства. Его можно сделать полным, добавив очевидные соображения непрерывности или неприводимости, но понятнее оно от этого не станет.

[aron-turgenev.livejournal.com]

Попробую сказать по-другому. Детерминанты были введены для решения систем линейных уравнений, и их свойства вытекают из свойств таких систем. Мультипликативность детерминантов - глубокий факт, проистекающий из их инвариантности при элементарных преобразованиях матриц, поведения на блок-матрицах и т.д. (см. Артин "Геометрическая алгебра"). Детерминанты (или нечто подобное) можно определить и тогда, когда внешнее произведение неопределено.

[posic.livejournal.com]

Ошибкой было бы думать, что если какое-то понятие впервые возникло при решении определенной задачи, то свойства этого понятия наилучшим образом могут быть поняты именно в контексте этой задачи. Сила математики в том и состоит, что почти каждое ее понятие возникает при решении многих разных задач.

Ну да, можно определить квазидетерминанты матрицы с некоммутирующими компонентами. Но есть ли у таких квазидетерминантов мультипликативное свойство? Мне кажется, нет.

[aron-turgenev.livejournal.com]

Отсутствие мультипликативности в некоммутативном случае как раз и показывает сложность этого понятия. В каком-то смысле мультипликативность заменяется "свойством наследственности" для блочных матриц. Я бы избегал излишней категоричности при обсуждении того, какие подходы правильны, а какие - нет, многое зависит от задачи. Слышал как очень хороший алгебраист об'яснял детерминанты очень хорошему геометру. В результате геометр перестал понимать, о чем идет речь.