Почему математические доказательства часто бывают непонятны?

[posic]

http://leblon.livejournal.com/66834.html?nc=3

Мой ответ таков: в математике существует tradeoff между сложностью доказательств и сложностью определений. Чтобы дать ясные, прозрачные доказательства, часто бывает нужно ввести определения более высокого уровня абстракции. Последствия этого обстоятельства проявляются в двух формах.

Во-первых, для оригинальных математических работ, продвигающих передний край математического знания, проблема состоит в том, что определения, необходимые для получения понятных доказательств, просто еще не придуманы. Математик сталкивается с выбором между публикацией непонятного доказательства и отказом от немедленной публикации в пользу дальнейшей работы над предметом с целью нахождения проясняющих определений. Поскольку о математических работах традиционно судят в первую очередь по тому, что в них доказано, и поскольку придумать продуктивные определения, как правило, труднее, чем найти хоть какое-нибудь, пусть даже запутанное, доказательство, выбор зачастую делается в пользу публикации непонятных доказательств.

Во-вторых, авторы учебников и других текстов по уже достаточно хорошо понятым разделам математики сталкиваются с необходимостью выбора уровня абстракции для своего изложения. Если автор сам не владеет абстрактными определениями, или если он не предполагает способности ими овладеть за своими читателями, он может предпочесть такой уровень абстракции, на котором дать понятные доказательства невозможно. Парадоксальные последствия такого выбора состоят в том, что материалом не овладевают не только слабые студенты, но и сильные, хотя и те и другие, конечно, сдают все положенные экзамены.

Типичный пример: чтобы объяснить, почему определитель произведения матриц равен произведению определителей, нужно ввести понятие внешней алгебры, или, как минимум, кососимметричной полилинейной формы. Не существует понятного доказательства, не использующего этих определений, хотя какие-то непонятные или неполные доказательства, естественно, даются в стандартных курсах.

Comments

[chaource.livejournal.com]

Линейность объёма по векторамъ, на которые натянутъ параллелепипедъ, можно мотивировать элементарнымъ геометрическимъ построеніемъ: если одинъ изъ векторовъ умножается на число, то вѣсь объёмъ тоже долженъ умножаться на это число, и такъ же можно мотивировать линейность при сложеніи векторовъ (нарисовать картинку, которая показываетъ, что площади складываются). Но линейность уже позволяетъ поменять знакъ у одного изъ векторовъ (или домножить векторъ на комплексное число) и, слѣдовательно, заставляетъ насъ разсматривать "оріентированный" объёмъ, который бываетъ и отрицательнымъ, и положительнымъ, и комплекснымъ, если угодно. Тайна для меня въ томъ, что объёмъ почему-то оказывается оріентированнымъ, хотя интуитивно это далеко не очевидно, а "обычный", неоріентированный объёмъ - оказывается не фундаментальнымъ понятіемъ, а какой-то величиной, уродливымъ образомъ полученной изъ оріентированнаго объёма.

[angel-ext.livejournal.com]

Линейность объема при умножении на положительное число - свойство не очень очевидное. Мы к нему привыкли, а древние греки считали, что его нужно доказывать. "Теория пропорций" Евдокса (т.е., по существу, теория вещественных чисел и пределов Дедекинда), на которой основывается вычисление Евклидом объема треугольной пирамиды, не нужна, если принять линейность при умножении в качестве аксиомы.

Линейность при сложении действительно можно обосновать, по крайней мере для площадей, элементарно-геометрическими рассуждениями.

После этого остается главная загадка, о которой вы и говорите: линейность при умножении на отрицательное число, или равноценная ей ориентированность объема.

Я подозреваю, отчасти на основе перелистывания Грассманна (в дополнение к современным изложениям), что никакой мотивировки для этого нет. Точнее, мотивировка состоит в том, что ориентированный объем обладает хорошими алгебраическими свойствами (а неориентированный - нет). Что возвращает нас на исходную позицию: мультипликативность определителя приходится постулировать (как минимум при умножении на -1).