Почему математические доказательства часто бывают непонятны?

[posic]

http://leblon.livejournal.com/66834.html?nc=3

Мой ответ таков: в математике существует tradeoff между сложностью доказательств и сложностью определений. Чтобы дать ясные, прозрачные доказательства, часто бывает нужно ввести определения более высокого уровня абстракции. Последствия этого обстоятельства проявляются в двух формах.

Во-первых, для оригинальных математических работ, продвигающих передний край математического знания, проблема состоит в том, что определения, необходимые для получения понятных доказательств, просто еще не придуманы. Математик сталкивается с выбором между публикацией непонятного доказательства и отказом от немедленной публикации в пользу дальнейшей работы над предметом с целью нахождения проясняющих определений. Поскольку о математических работах традиционно судят в первую очередь по тому, что в них доказано, и поскольку придумать продуктивные определения, как правило, труднее, чем найти хоть какое-нибудь, пусть даже запутанное, доказательство, выбор зачастую делается в пользу публикации непонятных доказательств.

Во-вторых, авторы учебников и других текстов по уже достаточно хорошо понятым разделам математики сталкиваются с необходимостью выбора уровня абстракции для своего изложения. Если автор сам не владеет абстрактными определениями, или если он не предполагает способности ими овладеть за своими читателями, он может предпочесть такой уровень абстракции, на котором дать понятные доказательства невозможно. Парадоксальные последствия такого выбора состоят в том, что материалом не овладевают не только слабые студенты, но и сильные, хотя и те и другие, конечно, сдают все положенные экзамены.

Типичный пример: чтобы объяснить, почему определитель произведения матриц равен произведению определителей, нужно ввести понятие внешней алгебры, или, как минимум, кососимметричной полилинейной формы. Не существует понятного доказательства, не использующего этих определений, хотя какие-то непонятные или неполные доказательства, естественно, даются в стандартных курсах.

Comments

[posic.livejournal.com]

Это не пример глубины каких-либо понятий. Это просто еще один пример малопонятного и неполного доказательства. Его можно сделать полным, добавив очевидные соображения непрерывности или неприводимости, но понятнее оно от этого не станет.

[aron-turgenev.livejournal.com]

Попробую сказать по-другому. Детерминанты были введены для решения систем линейных уравнений, и их свойства вытекают из свойств таких систем. Мультипликативность детерминантов - глубокий факт, проистекающий из их инвариантности при элементарных преобразованиях матриц, поведения на блок-матрицах и т.д. (см. Артин "Геометрическая алгебра"). Детерминанты (или нечто подобное) можно определить и тогда, когда внешнее произведение неопределено.

[posic.livejournal.com]

Ошибкой было бы думать, что если какое-то понятие впервые возникло при решении определенной задачи, то свойства этого понятия наилучшим образом могут быть поняты именно в контексте этой задачи. Сила математики в том и состоит, что почти каждое ее понятие возникает при решении многих разных задач.

Ну да, можно определить квазидетерминанты матрицы с некоммутирующими компонентами. Но есть ли у таких квазидетерминантов мультипликативное свойство? Мне кажется, нет.

[aron-turgenev.livejournal.com]

Отсутствие мультипликативности в некоммутативном случае как раз и показывает сложность этого понятия. В каком-то смысле мультипликативность заменяется "свойством наследственности" для блочных матриц. Я бы избегал излишней категоричности при обсуждении того, какие подходы правильны, а какие - нет, многое зависит от задачи. Слышал как очень хороший алгебраист об'яснял детерминанты очень хорошему геометру. В результате геометр перестал понимать, о чем идет речь.