Почему математические доказательства часто бывают непонятны?

[posic]

http://leblon.livejournal.com/66834.html?nc=3

Мой ответ таков: в математике существует tradeoff между сложностью доказательств и сложностью определений. Чтобы дать ясные, прозрачные доказательства, часто бывает нужно ввести определения более высокого уровня абстракции. Последствия этого обстоятельства проявляются в двух формах.

Во-первых, для оригинальных математических работ, продвигающих передний край математического знания, проблема состоит в том, что определения, необходимые для получения понятных доказательств, просто еще не придуманы. Математик сталкивается с выбором между публикацией непонятного доказательства и отказом от немедленной публикации в пользу дальнейшей работы над предметом с целью нахождения проясняющих определений. Поскольку о математических работах традиционно судят в первую очередь по тому, что в них доказано, и поскольку придумать продуктивные определения, как правило, труднее, чем найти хоть какое-нибудь, пусть даже запутанное, доказательство, выбор зачастую делается в пользу публикации непонятных доказательств.

Во-вторых, авторы учебников и других текстов по уже достаточно хорошо понятым разделам математики сталкиваются с необходимостью выбора уровня абстракции для своего изложения. Если автор сам не владеет абстрактными определениями, или если он не предполагает способности ими овладеть за своими читателями, он может предпочесть такой уровень абстракции, на котором дать понятные доказательства невозможно. Парадоксальные последствия такого выбора состоят в том, что материалом не овладевают не только слабые студенты, но и сильные, хотя и те и другие, конечно, сдают все положенные экзамены.

Типичный пример: чтобы объяснить, почему определитель произведения матриц равен произведению определителей, нужно ввести понятие внешней алгебры, или, как минимум, кососимметричной полилинейной формы. Не существует понятного доказательства, не использующего этих определений, хотя какие-то непонятные или неполные доказательства, естественно, даются в стандартных курсах.

Comments

[marina_p]

У меня сложилось впечатление, что есть люди с разным складом мышления. Одним понятнее, когда меньше абстракции и по минимуму определений новых понятий, но много примеров (и, естественно, длинные запутанные доказательства -- но их это не пугает). А другим понятнее, когда есть ясная общая теория, в которую всё укладывается (пусть и с кучей новых определений).

Хорошо бы, чтобы у студентов был выбор. В вашем примере страдают студенты второго типа (я отношусь к ним :)

[posic.livejournal.com]

Хорошо бы, чтобы у студентов был выбор, да.

[chaource.livejournal.com]

Есть и другой, важный на мой взглядъ, вопросъ. Насколько важно всё мотивировать и объяснить? Необходимо ли оставить нѣкоторую часть матеріала необъяснённой, чтобы студентъ "дошёлъ" самъ? Теряемъ ли мы студентовъ, которые сами не "дойдутъ", но могли бы понять матеріалъ послѣ болѣе подробнаго объясненія?

Въ нѣкоторыхъ книгахъ половина матеріала не объясняется или приводится безъ доказательства, вмѣсто этого материалъ переводится въ "упражненія" (думаю, ихъ никто не дѣлаетъ самостоятельно, а просто читаютъ формулировки). У меня иногда возникаетъ впечатленіе, что это дѣлается авторами по лѣни или же по традиціи - лучше ужъ не писать ничего, или приводить всѣ рѣшенія "упражненій". Вѣрно ли это? Помогаютъ ли такія "упражненія"?

[posic.livejournal.com]

Я когда учился в 9-м классе, читал книжку Винберга и Онищика "Семинар по алгебраическим группам и группам Ли" (старое издание, существенно менее объемное, чем появившееся позднее новое). Там, хотя были и теоремы с доказательствами, большая часть материала излагалась в виде последовательности задач, к более трудным из которых давались указания. И я таки все эти задачи решал, хотя, конечно, в указания первым делом всегда заглядывал. Не решая все или почти все задачи, эту книжку читать невозможно было бы. Бывают и другие такие книжки, хотя их и мало (например, я еще раньше читал книжку Алексеева "Теорема Абеля в задачах и решениях"). Похожий жанр представляли собой "листочки" по мат. анализу и т.п. в некоторых классах 57-й школы, где преподавали лучше, чем у нас.

Более стандартный вариант -- это, действительно, россыпь (мало связанных между собой) упражнений в конце каждого параграфа книги. Так написаны книги Бурбаки, а также многие учебники по продвинутым областям математики, такие как "Коммутативная алгебра" Атьи и Макдональда или "Алгебраическая геометрия" Хартсхорна. Последние две книги я читал (вторую -- частично), решая упражнения. По-моему, решать такие упражнения весьма полезно, если хочешь овладеть материалом; некоторый недостаток заключается, по-моему, в том, что придуманные самостоятельно доказательства забываются еще быстрее, чем прочитанные в книге. Также такая россыпь упражнений очень полезна, как справочный материал: обычно к упражнениям даются достаточные указания, чтобы, при необходимости, можно было по ним разобраться в отдельно взятом вопросе.

Так что да, некоторые люди упражнения решают, и им это помогает; а иногда упражнения немного помогают, даже если их не решать -- вот пример.

[chaource.livejournal.com]

Ну въ школѣ - это да, я тоже помню про себя, читалъ какія-то книги и всё рѣшалъ. А послѣ школы? Вотъ напримѣръ сейчасъ, сталъ бы ты такое читать и всѣ упражненія рѣшать, если понадобится изучить новую область?

[posic.livejournal.com]

Хартсхорна я читал и решал уже в университете. Но вообще да, с возрастом начинаешь лениться учиться как следует. Что не есть хорошо. Но упражнения все равно полезны: даже если не решать все подряд, можно решать те, которые нужны для чего-то.

[mathreader.livejournal.com]

Винберг-Онищик в этом смысле очень хорошая книга. В ней достигнут баланс текста, в котором подчеркнута важность теорем и следствий, -- и задач для самостоятельного решения.

Книжка "Теорема Абеля", а также Мишины листики страдают тем, что даже проработав их все, не чувствуется что же в этом лесу упражнений главное, а что нет. В результате -- каша в голове и все забывается очень быстро.