Копроизводная категория дискретных DG-модулей над топологическим DG-кольцом

[posic]

Пусть A -- топологическое градуированное кольцо, в котором однородные двусторонние открытые идеалы, факторкольца по которым градуированно нетеровы, образуют базу окрестностей нуля ("про-нетерово градуированное кольцо"). Пусть A снабжено непрерывным дифференциалом d (легко видеть, что в этом случае однородные двусторонние дифференциальные открытые идеалы образуют базу окрестностей нуля). Тогда копроизводная категория дискретных DG-модулей над A эквивалентна гомотопической категории дискретных DG-модулей, инъективных в категории дискретных градуированных A-модулей.

В самом деле, непрерывные гомоморфизмы абелевых групп из A в дискретную группу Q/Z образуют инъективный дискретный A-модуль. Дискретный A-модуль инъективен тогда и только тогда, когда аннулятор любого открытого двустороннего идеала J⊂A в этом модуле инъективен как A/J-модуль. Так что класс инъективных дискретных модулей замкнут относительно прямых сумм. Для любого дискретного градуированного A-модуля M, универсальный DG-модуль над A, содержащий M, дискретен, а коядро вложения M в этот модуль изоморфно M со сдвинутой на единицу градуировкой, и так далее.

Как обычно, условие нетеровости можно заменить на условие конечности гомологической размерности категории дискретных A-модулей (но требование, чтобы двусторонние идеалы образовывали базу топологии все равно, похоже, нужно для построения инъективных A-модулей можно ослабить до требования, чтобы базу топологии образовывали левые идеалы, если мы рассматриваем левые A-модули). Кроме того, все обобщается на случай CDG-кольца очевидным образом.

Ср. http://posic.livejournal.com/196141.html

Comments

[hippie57.livejournal.com]

Леня, а примеры? Типа, инд-схема инд-конечного типа и дифференциальные формы? Я, кстати, в Питере, на полгода, и заезжаю в москву регулярно, в следующий раз после 25 января. Надо бы встретиться и поговорить.

[posic.livejournal.com]

Честно говоря, я не имел в виду ничего более сложного, чем обобщение коалгебр (= проконечномерных алгебр над полями), включающее кольца вроде Z/p²Z и целых p-адических чисел. При этом я уже знал, что дискретные нетеровы кольца подходят. Но да, ты прав -- дифференциальные формы на (разумной) инд-схеме инд-конечного типа это правильный пример.

На целых полгода! Это типа саббатикал? Неплохо бы встретиться, да.

[hippie57.livejournal.com]

Г%де чего убудет, там того и... -- я в следующем году буду преподавать на курс больше. Насчёт оных омега-модулей, это разумный обьект, Бейлинсон с Дринфельдом это дело обсуждают в процессе определения Д-модулей на инд-конечной инд-схеме. Подумай, нужно ли тебе, чтоб куски были гладкими. Или достаточно, чтоб особенности были не слишком плохими (конечная гомологическая размерность??) Потому как обьединение гладких кусков -- такое бывает редко. Бывает часто, что всё гладко в смысле формальных схем, уже после обьединения. Строго это прописано у Дринфельда. Но сам по себе объект -- дискретные модули над топологическим кольцом, может, в диф-град. версии, это верное образование.

[hippie57.livejournal.com]

Кстати, поскольку категория копроизводная, то в ней есть выжившие точные комплексы, так ведь? Это интересно, поскольку на инд-схеме (в примерах) есть комплексы в духе Кузена (Д-модулей, но оно же и Омега-модулей), эти комплексы точны, но изображают из себя "модуль, сидящий в бесконечности", то есть недискретное образование, например, правый Д-модуль "старших форм" (которого, естественно, на такой инд-схеме нет).

offtopic

[borya-port.livejournal.com]

Леня привет!
Хиппи мне говорил что ты ему типа говорил что теория Кошулевой двойственности для ассоциативных алгебр бывает над любой "базой" A_0. То есть я задаюсь таким вопросом:
я хочу дать определение Кошулевой алгебры A=A_0+A_1+A_2+...
где A_0 фиксировано. Результатом теории должна быть теорема говорящая что если A_0 имеет проективную резольвенту в A-mod i-й член которой порожден элементами степени i, то такая алгебра является 1-порожденной и квадратичной, и кв двойственная алгебра B удовлетворяет Ext_{A-mod)(A_0,A_0)=B^{opp}
и Ext_{B-mod}(A_0,A_0)=A^{opp}.
Хиппи мне говорил не далее как вчера что ты его учил что такая теория бывает когда A_0 что угодно.
Мне кажется что ключевым моментом является конструккция комплекса Кошуля, для того чтобы показать что если A Кошулева то и B=A^! тоже Кошулева.
Далее, когда ты строишь комплекс Кошуля, надо заботиться о том чтобы все A_0(би)модули были плоскими.
Иначе невозможно доказать его хорошие гомологические свойсва.
С другой стороны, комплекс Кошуля это A\otimes (B)^* и B^* то перечение нескольких A_0 имодулей.
Все сводится к тому чтобы показать что пересечение конечного числа плоских (би)модулей над A_0
снова плоско, и это единственное условие на A_0 которое нужно.
Бейлинсон-Гинзбург-Сергель рассматривают случай когда A_0 простая алгебра конечномерная над базовым полем.
Я для своих нужд рассмотрел случай когда A_0 кольцо дискретного нормирования 5в этом случае локальность влечет что плоский модуль то же самое что свободный, а неособость и размерность 1 влечет что свободный это то же самое что модуль без кручения). Но например если A_0 локальное кольцо размерности 2, насколько я понимаю это утверждение про пересечение плоских модулей плоско уже неверно.

Вот мой к тебе вопрос: что ты в свете вышесказанного имеешь ввиду когда говоришь что Кошулевость бывает над любой базой?

Re: offtopic

[posic.livejournal.com]

Боря, привет! Сережа правильно тебе говорил. Понятие кошулевой алгебры вида A=A_0+A_1+A_2+..., где A_0 -- произвольное кольцо, имеет смысл, если A является плоским левым или правым A_0-модулем. Чтобы имела место кошулева двойственность в том виде, как ты ее формулируешь (с алгебрами Ext-ов), нужно потребовать чуть больше, а именно, чтобы все A_i были конечно порожденными проективными левыми или правыми A_0-модулями. Что касается комплекса Кошуля, то я привык обходиться без него в этой теории, используя вместо него бар-конструкцию. В частности, доказательство того, что если A кошулева, то и B=A^! кошулева, то оно производится так: доказывается, используя бар-конструкцию, что A кошулева тогда и только тогда, когда она квадратична и решетки подмодулей в тензорных степенях A_1 над A_0, порожденные подмодулем соотношений, дистрибутивны, а все присоединенные факторы в них являются проективными модулями; последнее свойство сохраняется при переходе от A к A^!. Вероятно, и комплекс Кошуля тоже можно использовать, но я об этом не думал. Что касается плоскости бимодулей, то разумеется, в общем случае конечное пересечение плоских модулей не плоско. Однако, интересующие тебя бимодули будут плоски, когда алгебра A кошулева. В этом нетрудно убедиться, используя бар-конструкцию: если у конечного комплекса плоских модулей единственная гомология находится в самом левом члене, то эта гомология тоже плоска.

Посылаю тебе е-мейлом мои неоконченные записки про неоднородную кошулеву двойственность над базовым кольцом, в которых, я думаю, имеются интересные тебе соображения.