Копроизводная категория дискретных DG-модулей над топологическим DG-кольцом

[posic]

Пусть A -- топологическое градуированное кольцо, в котором однородные двусторонние открытые идеалы, факторкольца по которым градуированно нетеровы, образуют базу окрестностей нуля ("про-нетерово градуированное кольцо"). Пусть A снабжено непрерывным дифференциалом d (легко видеть, что в этом случае однородные двусторонние дифференциальные открытые идеалы образуют базу окрестностей нуля). Тогда копроизводная категория дискретных DG-модулей над A эквивалентна гомотопической категории дискретных DG-модулей, инъективных в категории дискретных градуированных A-модулей.

В самом деле, непрерывные гомоморфизмы абелевых групп из A в дискретную группу Q/Z образуют инъективный дискретный A-модуль. Дискретный A-модуль инъективен тогда и только тогда, когда аннулятор любого открытого двустороннего идеала J⊂A в этом модуле инъективен как A/J-модуль. Так что класс инъективных дискретных модулей замкнут относительно прямых сумм. Для любого дискретного градуированного A-модуля M, универсальный DG-модуль над A, содержащий M, дискретен, а коядро вложения M в этот модуль изоморфно M со сдвинутой на единицу градуировкой, и так далее.

Как обычно, условие нетеровости можно заменить на условие конечности гомологической размерности категории дискретных A-модулей (но требование, чтобы двусторонние идеалы образовывали базу топологии все равно, похоже, нужно для построения инъективных A-модулей можно ослабить до требования, чтобы базу топологии образовывали левые идеалы, если мы рассматриваем левые A-модули). Кроме того, все обобщается на случай CDG-кольца очевидным образом.

Ср. http://posic.livejournal.com/196141.html

Comments

[hippie57.livejournal.com]

Кстати, поскольку категория копроизводная, то в ней есть выжившие точные комплексы, так ведь? Это интересно, поскольку на инд-схеме (в примерах) есть комплексы в духе Кузена (Д-модулей, но оно же и Омега-модулей), эти комплексы точны, но изображают из себя "модуль, сидящий в бесконечности", то есть недискретное образование, например, правый Д-модуль "старших форм" (которого, естественно, на такой инд-схеме нет).