Копроизводная категория дискретных DG-модулей над топологическим DG-кольцом

[posic]

Пусть A -- топологическое градуированное кольцо, в котором однородные двусторонние открытые идеалы, факторкольца по которым градуированно нетеровы, образуют базу окрестностей нуля ("про-нетерово градуированное кольцо"). Пусть A снабжено непрерывным дифференциалом d (легко видеть, что в этом случае однородные двусторонние дифференциальные открытые идеалы образуют базу окрестностей нуля). Тогда копроизводная категория дискретных DG-модулей над A эквивалентна гомотопической категории дискретных DG-модулей, инъективных в категории дискретных градуированных A-модулей.

В самом деле, непрерывные гомоморфизмы абелевых групп из A в дискретную группу Q/Z образуют инъективный дискретный A-модуль. Дискретный A-модуль инъективен тогда и только тогда, когда аннулятор любого открытого двустороннего идеала J⊂A в этом модуле инъективен как A/J-модуль. Так что класс инъективных дискретных модулей замкнут относительно прямых сумм. Для любого дискретного градуированного A-модуля M, универсальный DG-модуль над A, содержащий M, дискретен, а коядро вложения M в этот модуль изоморфно M со сдвинутой на единицу градуировкой, и так далее.

Как обычно, условие нетеровости можно заменить на условие конечности гомологической размерности категории дискретных A-модулей (но требование, чтобы двусторонние идеалы образовывали базу топологии все равно, похоже, нужно для построения инъективных A-модулей можно ослабить до требования, чтобы базу топологии образовывали левые идеалы, если мы рассматриваем левые A-модули). Кроме того, все обобщается на случай CDG-кольца очевидным образом.

Ср. http://posic.livejournal.com/196141.html

Comments

Re: offtopic

[posic.livejournal.com]

Боря, привет! Сережа правильно тебе говорил. Понятие кошулевой алгебры вида A=A_0+A_1+A_2+..., где A_0 -- произвольное кольцо, имеет смысл, если A является плоским левым или правым A_0-модулем. Чтобы имела место кошулева двойственность в том виде, как ты ее формулируешь (с алгебрами Ext-ов), нужно потребовать чуть больше, а именно, чтобы все A_i были конечно порожденными проективными левыми или правыми A_0-модулями. Что касается комплекса Кошуля, то я привык обходиться без него в этой теории, используя вместо него бар-конструкцию. В частности, доказательство того, что если A кошулева, то и B=A^! кошулева, то оно производится так: доказывается, используя бар-конструкцию, что A кошулева тогда и только тогда, когда она квадратична и решетки подмодулей в тензорных степенях A_1 над A_0, порожденные подмодулем соотношений, дистрибутивны, а все присоединенные факторы в них являются проективными модулями; последнее свойство сохраняется при переходе от A к A^!. Вероятно, и комплекс Кошуля тоже можно использовать, но я об этом не думал. Что касается плоскости бимодулей, то разумеется, в общем случае конечное пересечение плоских модулей не плоско. Однако, интересующие тебя бимодули будут плоски, когда алгебра A кошулева. В этом нетрудно убедиться, используя бар-конструкцию: если у конечного комплекса плоских модулей единственная гомология находится в самом левом члене, то эта гомология тоже плоска.

Посылаю тебе е-мейлом мои неоконченные записки про неоднородную кошулеву двойственность над базовым кольцом, в которых, я думаю, имеются интересные тебе соображения.