Придумалось название то ли семинара, то ли его вводного доклада

How to assign an abelian or exact category to a geometric shape?

Аннотация:

Let us define the context of the discussion by saying that to an affine scheme we assign the abelian category of arbitrary modules over the commutative ring of functions. What categories can one then assign to a nonaffine scheme, a formal scheme, or an ind-scheme? We'd argue that there are two abelian categories to be assigned to an ind-affine ind-scheme, one abelian and one exact category to be assigned to a nonaffine scheme or stack, and one abelian and three exact categories to be assigned to a nonaffine formal scheme. Subcategories are not counted.

В принципе, если так подумать, то если устраивать в следующем учебном году такой семинар по контрамодулям и контрагерентным копучкам, то моя деятельность закончившегося учебного года -- и предшествующих лет тоже, но в частности и в особенности, 22-23 учебного года -- была к тому неплохой подготовкой. С очень плоской гипотезой мы в основном разобрались в предшествующие годы. Но говоря о произвольных плоских модулях -- одно дело только размахивать руками, заявляя что, мол, теоремы периодичности иллюстрируют, что плоские модули не так уж далеко ушли от проективных -- другое дело, когда есть серия архивных препринтов про это.

Кстати, другой вариант названия семинара: Contramodules and contraherent cosheaves in algebraic geometry.

К предыдущему

Конечно, все это очень немейнстримно и экзотично. Ведь разных вариантов, разных теорий на самом деле гораздо больше. Люди рассматривают D-модули, конструктивные пучки, превратные пучки, смешанные модули Ходжа, мотивные пучки. Люди больше интересуются когерентными пучками, чем квазикогерентными. Больше интересуются триангулированными категориями, чем абелевыми или точными.

В противоположность этому изобилию, я уже больше 11 лет (считая с момента появления определения) или даже больше 14 лет (с момента постановки задачи) вожусь с двойственно-аналогичной ("ковариантно двойственной") версией квазикогерентных пучков, которая называется у меня контрагерентными копучками. В комплекте с двойственно-аналогичной версией модулей кручения, которая называется у меня контрамодулями.

Ср. "Специалист по деталькам" -- https://posic.dreamwidth.org/2507631.html , https://posic.livejournal.com/2530241.html

Но что ж я могу сделать? Конечно, можно сказать, что жестокость жизни, мира и людей загнала меня в маргинальную нишу, обеспечивающую мне независимость ценой иррелевантности. Но по-моему, все это ерунда. Никто не заставлял меня в 2012-14 годах в Москве писать про контрагерентные копучки и формулировать очень плоскую гипотезу. Никто не заставляет меня в 2020-23 годах в Праге продолжать размышлять про контрагерентные копучки и писать про теоремы периодичности.

Просто мне кажется, что члену экипажа тонущего корабля следует добросовестно делать свою работу. Если бы кто-нибудь из математиков разделял мое отношение к математике, то для каждой разновидности "пучков модулей в алгебраической геометрии" из списка в первом абзаце этого постинга нашлось бы по сильному алгебраисту, пишущему работы про соответствующую разновидность копучков.

Ну, это утрированное высказывание, но оно выражает идею. Пусть не копучков, пусть чего-то другого, mutatis mutandis. Идея состоит в том, что основания нужно продумывать, если считать целью математики доказательство гипотезы Римана, а не доказательство противоречивости аксиоматики ZFC.

Еще к предыдущему

Другое дело, что годы жизни и работы в Праге, конечно же, повлияли на эволюцию моей научно-исследовательской программы. Нелепо и очень глупо было бы отвергать и не использовать возможности для научного общения, которые мне здесь открылись. Прага -- крупный центр теоретико-множественной алгебры. Поэтому сдвиг моих текущих интересов в направлении от более геометрических к более теоретико-множественным аспектам гомологической алгебры совершенно естественен.

Конечно, хочется в итоге все это интегрировать в некое единое целое с разными рукавами и разветвлениями. Очень плоская гипотеза геометричнее, а теоремы периодичности теоретико-множественнее. Когда-если мне удастся написать в итоге современную версию книжки про контрагерентные копучки, соответствующая разница между локально контраприспособленными контрагерентными копучками и контрагерентными копучками локально кокручения вряд ли будет важна для большинства читателей. Но текст будет выражать некое зрелое понимание, некий продуманный, не-наивный взгляд на предмет.

Существовали ли альтернативные варианты развития событий? Ну, чисто теоретически, если бы контрамодули и контрагерентные пучки заинтересовали людей в столицах, то наука про них могла бы включить в себя лучшее понимание каких-то геометрических или арифметических аспектов. Но я бы считал, что тут что ни делается, все к лучшему. Может быть, я опередил свое время или что-то еще. Я готов подождать еще несколько десятилетий. Когда-нибудь мои идеи вернутся в столицы.