Задача про контрамодули

На вид даже не задача, а скорее упражнение. Но трудное: мне решить не удается. Может быть, оно даже и неверно почему-то, не знаю.

Пусть R -- ассоциативное кольцо, F -- топология правых идеалов в R, имеющая счетную базу, и пусть R^ -- пополнение R относительно F (рассматриваемое, как обычно, в топологии проективного предела). Можно навешивать дополнительные условия по вкусу -- что F топология Габриэля, например, с базой из конечно-порожденных правых идеалов, совершенная (т.е., соответствующая плоскому слева эпиморфизму колец) и т.д. Не знаю, что из этого может быть релевантно.

Левый R-модуль D называется F-делимым, если R/I ⊗_R D = 0 для всех I ∈ F. Пусть D -- F-делимый левый R-модуль, и пусть C -- левый R^-контрамодуль. Требуется доказать, что Hom_R(D,C) = 0.

Если бы можно было доказать это для правой топологии Габриэля, соответствующей плоскому слева эпиморфизму колец счетного типа u: R → U, то из этого следовало бы, что всякий F-делимый левый R-модуль u-h-делим (т.е., является фактормодулем левого U-модуля). Обратная импликация очевидна и не требует условия счетности.

Поток рефлексии

Все-таки не по себе мне в Праге немножко. Особенно зимой. Потому-то я сейчас в Тель-Авиве, хоть здесь тоже зимняя погода не ахти. Или это не зависит от сезона? Не уверен, что зависит.

Дальше непонятно. Самая очевидная гипотеза -- что это из-за тесного жилья. Это может быть очень угнетающим, как я знаю по опыту, особенно на длинных временных промежутках.

Другая гипотеза -- что у меня бытовая дезадаптация на почве карьерных неурядиц, поисков работы и переездов. Статьи писать научился (вот, и заметку про плоские эпиморфизмы почти размерности Крулля ноль навалял за один день и отослал соавторше уже -- это вдали от дома и параллельно с прогулками). Все остальное делать разучился. Надо приучить себя ходить в магазины, покупать одежду и т.д. Одеться потеплее -- и по Праге зимой тоже можно будет гулять.

Впрочем, как всегда: "совсем плохой стал... да по правде сказать, всегда такой был". В первые бостонские годы у меня тоже были проблемы с обувью и одеждой. До всяких карьерных неурядиц. И работой я тогда особенно загружен не был (естественно для аспиранта).

Может быть, это такое беспокойство, охота к перемене мест. Странное объяснение: прожил же я девять с половиной лет в одной квартире в Москве. И редко куда ездил. Но там было все-таки не так тесно. Теперь же, наоборот, может быть, придется переезжать. И тогда надо будет покупать не только одежду, но и мебель.

Наверно, речь должна скорее идти о том, что был у меня жизненный план, была стратегия, да вся кончилась. Допустим, через пять лет трактат про контрагерентые копучки будет готов к печати; дальше что? Через пять лет мне будет почти 52 года. С кем работать мне тогда, чем заниматься? И где?

Что меня угнетает: одиночество? надвигающаяся старость? То, что карьеры не только нет, но и уже никогда не будет? Непонятно. Можно признать это "психиатрией" и поискать решение в форме таблетки. Но лучше бы, конечно, что-то более содержательное. Депрессия дана человеку для того, чтобы он задумался о себе. Вот я задумываюсь, задумываюсь...