К предыдущему

В общем, ситуация выглядит примерно так. Идею "спуститься с горы в населенную местность" я в основном осуществил уже за последние год-два. Последним важным шагом в этом направлении стало недавнее обнародование препринта про псевдодуализирующие комплексы.

Важнейшим результатом этого периода стали две работы про тильтинго-котильтинговое соответствие, остающиеся не обнародованными. Соавтор мой их читает, и этот процесс выглядит бесконечным. Именно эта ситуация меня сейчас больше всего угнетает.

Как всегда, совершенно непонятно, в чем мог бы состоять эндшпиль. Кто является тем человеком, который на самом деле мог бы прочитать эти тексты и что-нибудь из них извлечь? Соавтор читает -- и очень хорошо, пускай читает и впитывает? Или надо все-таки настоять на вывешивании в Архив?

Я не умею ни на чем настаивать. Мой способ взаимодействовать с людьми состоит в том, что пусть каждый делает то, что он считает нужным, а я буду делать то, что я считаю нужным. В данном случае, я и сам не знаю, что я считаю нужным.

В 2016 году я всю весну и лето писал тексты под впечатлением от поездки в Чехию в 2015 году и последующей переписки (также, поездки в Пизу в июне 2016 года), а осенью поехал снова в Чехию набираться новых впечатлений. Теперь я вот в Падую еще поеду, может быть, и оттуда чего-нибудь почерпну.

Похоже, мораль состоит в том, что пора уже перестать жить такими впечатлениями. У них там есть много математической жизни помимо меня -- надобно, чтобы и у меня было достаточно математической жизни помимо того, что теперь носят в Европе. Почему бы им не прочитать то, что я уже написал для них?

Глупо сердиться -- один из достигнутых на сегодня результатов состоит в том, что меня охотно приглашают и в Прагу, и в Падую, предлагают какие-то деньги и т.д. Проблема виз препятствует полному использованию этих возможностей. Другое дело, что в чисто практическом плане у меня сегодня просто отсутствует перспектива как таковая.

Единственным израильским университетом, с которым ведутся переговоры, остается Бар-Илан. Тамошний департамент хочет взять меня на специальную позицию для репатриантов, финансируемую непосредственно правительством. Что из этого может получиться, трудно себе представить. Вне Израиля я работы не искал и не ищу, предполагая визово-административные проблемы неразрешимыми.

Мой обычный ход мысли состоит в том, чтобы предполагать, что беда неминуема, но пока не поздно, нужно сделать то, что можно, чтобы я не был виноват в ее наступлении. Скажем, имело смысл приложить разумные усилия для поиска связей между кругом моих основных идей и тем, чем занимаются другие люди. Я приложил такие усилия и нашел такие связи. Что еще имеет смысл сделать, пока я жив?

Категории контрамодулей как правоперпендикулярные подкатегории в категориях модулей

Cводка результатов, по итогам постинга http://posic.livejournal.com/1561418.html и последующих двух постингов про λ-плоские модули.

0. Пусть K -- абелева категория, Т -- класс объектов в К, и Т^⊥ -- полная подкатегория, состоящая из всех объектов C из K, для которых Hom_K(U,C) = 0 = Ext_K¹(U,C) = 0 для всех объектов U из T. Тогда полная подкатегория Т^⊥ замкнута относительно ядер морфизмов, расширений, и бесконечных произведений в K. Если при этом Ext_K²(U,C) = 0 для всех U из T и C из Т^⊥, то полная подкатегория Т^⊥ ⊂ K замкнута также и относительно коядер морфизмов, и является таким образом абелевой категорией с точным функтором вложения Т^⊥ → K.

Доказательство: см. статью [GL], предложение 1.1.

1. Пусть теперь K -- локально представимая абелева категория и Т -- множество объектов в К. Тогда категория Т^⊥ локально представима, достижимо вложена в K, и является рефлективной подкатегорией в К.

Доказательство: см. пример 4.1(2) в 1512.8119 и теорему/следствие 2.48 в книжке [AR].

2. Пусть К -- локально представимая абелева категория с проективной образующей (т.е., другими словами, категория моделей некоторой κ-арной аддитивной алгебраической теории), и пусть T -- множество объектов в K, такое что полная подкатегория Т^⊥ ⊂ K замкнута относительно коядер морфизмов. Тогда Т^⊥ также является локально представимой абелевой категорией с проективной образующей (которую можно построить, применив к проективной образующей категории K функтор-рефлектор Δ: K → Т^⊥).

Ср. обсуждение в пишущейся статье про тильтинго-котильтинговое соответствие.

3. Обратно, пусть B -- локально представимая абелева категория с проективной образующей. Будем называть проективную образующую P ∈ B 0-хорошей, если функтор Hom_B(P,−): B → S-mod, где S = Hom_B(P,P)^op, вполне строгий. Будем называть проективную образующую P ∈ B n-хорошей, если тот же точный функтор Hom индуцирует изоморфизмы групп Extⁱ в категориях B и S-mod с номерами i ≤ n, и просто хорошей, если она n-хорошая для всех n.

Утверждается, что если проективная образующая P ∈ B 1-хорошая, то образ вполне строгого функтора Hom_B(P,−) имеет вид T^⊥ ⊂ S-mod для некоторого множества S-модулей T. Если P n-хорошая для некоторого n ≥ 1, то Ext_Kⁱ(U,C) = 0 для всех U из T и C из Т^⊥, и всех i ≤ n.

В качестве множества T можно взять единственный S-модуль Hom_B(P,P^(X))/Hom_B(P,P)^(X), где X -- такое множество, что категория B является локально λ-представимой, где λ -- следующий кардинал за мощностью X. Или, как вариант -- совокупность всех S-модулей такого вида, где мощность X пробегает все мощности, меньшие κ, а категория B локально κ-представима.

Идея доказательства: см. пункт 4 постинга http://posic.livejournal.com/1559604.html .

4. Наконец, пусть B -- локально представимая абелева категория с проективной образующей P, и пусть X -- такое множество, что категория B локально λ-представима, где λ -- следующий кардинал за мощностью X. Тогда Q = P^(X) -- хорошая (т.е., n-хорошая для всех n) проективная образующая категории B.

См. последние два абзаца постинга http://posic.livejournal.com/1561418.html ("идея доказательства пункта 3" там).

5. Обобщение пункта 3 выше: вместо того, чтобы полагать по определению S = Hom_B(P,P)^op, можно рассматривать тройки (проективная образующая P ∈ B, ассоциативное кольцо R, инъективный гомоморфизм колец f: R → Hom_B(P,P)^op). Такая тройка называется 0-хорошей, если соответствующий функтор B → R-mod вполне строгий, и n-хорошей, если он индуцирует изоморфизмы групп Extⁱ с номерами i ≤ n.

Снова утверждается, что если тройка (B,R,f) 1-хорошая, то образ вполне строгого функтора B → R-mod имеет вид T^⊥ ⊂ R-mod для некоторого множества R-модулей T, и т.д. как в пункте 3. Множество T берется состоящим из левых R-модулей Hom_B(P,P^(X))/R^(X), где X -- множество или множества соотв. мощности, как в пункте 3.

n-правоперпендикулярные подкатегории в абелевых категориях

В развитие предыдущего постинга: пусть K -- абелева категория. Будем называть полную подкатегорию B ⊂ K

- 0-правоперпендикулярной подкатегорией, если существует класс морфизмов F ⊂ Mor K, такой что B состоит в точности из всех объектов C ∈ K, таких что морфизм Hom_K(f,C) является изоморфизмом для всех морфизмов f ∈ F; обозначение B = F^⊥₀;

- 1-правоперпендикулярной подкатегорией, если существует класс объектов T ⊂ Ob K, такой что B состоит в точности из всех объектов C ∈ K, таких что Hom_K(U,C) = 0 = Ext_K¹(U,C) для всех объектов U ∈ T; обозначение B = T^⊥_0,1;

- n-правоперпендикулярной подкатегорией, если существует класс объектов T ⊂ Ob K, такой что B = T^⊥_0,1, и при этом Ext_Kⁱ(U,C) = 0 для всех объектов U ∈ T и C ∈ B, и всех i ≤ n; обозначение B = T^⊥_0..n;

Ясно, что всякая n-правоперпендикулярная подкатегория является одновременно (n−1)-правоперпендикулярной подкатегорией, если n ≥ 2. Менее очевидное наблюдение состоит в том, что всякая 1-правоперпендикулярная подкатегория является одновременно 0-правоперпендикулярной подкатегорией: достаточно взять в качестве F класс всех мономорфизмов с коядром, принадлежащим T.

Еще чуть более тонкая версия этого наблюдения состоит в том, что если категория K локально представима и T -- множество объектов, то в качестве F достаточно выбрать подходящее подмножество в классе всех морфизмов с коядрами, принадлежащими T. Далее, если категория K локально представима и F -- множество морфизмов в K, то соотвествующая 0-правоперпендикулярная подкатегория локально представима, достижимо вложена и рефлективна.

Легко проверить, что

- всякая 0-правоперпендикулярная подкатегория замкнута относительно бесконечных произведений и ядер;
- всякая 1-правоперпендикулярная подкатегория замкнута относительно (бесконечных произведений, ядер и) расширений;
- всякая 2-правоперпендикулярная подкатегория замкнута относительно (бесконечных произведений, ядер, расширений и) коядер.

Таким образом, всякая 2-правоперпендикулярная подкатегория в абелевой категории является абелевой категорией с точным функтором вложения B → K. Основной результат предыдущего постинга состоит в том, что классы всех

- абелевых, точно вложенных 0-правоперпендикулярных подкатегорий к множествам морфизмов в категориях модулей над ассоциативными кольцами;
- абелевых, точно вложенных 1-правоперпендикулярных подкатегорий к множествам объектов в категориях модулей над ассоциативными кольцами;
- 2-правоперпендикулярных подкатегорий к множествам объектов в категориях модулей над ассоциативными кольцами;
- ∞-правоперпендикулярных подкатегорий к множествам объектов в категориях модулей над ассоциативными кольцами --

рассматриваемых как абстрактные категории -- все совпадают между собой, и совпадают с классом всех локально представимых абелевых категорий с проективной образующей (он же класс всех категорий моделей аддитивных алгебраических теорий возможно бесконечной, но ограниченной арности).

Проективная образующая P такой абелевой категории B является n-хорошей тогда и только тогда, когда соответствующий точный функтор Hom_B(P,−) вкладывает B как n-правоперпендикулярную полную подкатегорию в категорию левых модулей над кольцом S = Hom_B(P,P)^op.

В продолжение постингов с рефлексией

Пописал еще немножко тут математического, и, кажется, сложилась у меня в голове картинка. Вот об этом -- о правоперпендикулярных подкатегориях в категориях модулей -- нужно теперь писать статью, и об этом же нужно рассказывать в Падуе, а потом и в Праге. С каким уж там составом авторов в итоге получится эта статья, это уже следующий вопрос, управлять этим я не умею и не могу. Даст Бог, обнародуется когда-нибудь (а там, глядишь, и опубликуется, но это уже кажется менее важным, при жизни такой).