![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicCводка результатов, по итогам постинга http://posic.livejournal.com/1561418.html и последующих двух постингов про λ-плоские модули.
0. Пусть K -- абелева категория, Т -- класс объектов в К, и Т⊥ -- полная подкатегория, состоящая из всех объектов C из K, для которых HomK(U,C) = 0 = ExtK1(U,C) = 0 для всех объектов U из T. Тогда полная подкатегория Т⊥ замкнута относительно ядер морфизмов, расширений, и бесконечных произведений в K. Если при этом ExtK2(U,C) = 0 для всех U из T и C из Т⊥, то полная подкатегория Т⊥ ⊂ K замкнута также и относительно коядер морфизмов, и является таким образом абелевой категорией с точным функтором вложения Т⊥ → K.
Доказательство: см. статью [GL], предложение 1.1.
1. Пусть теперь K -- локально представимая абелева категория и Т -- множество объектов в К. Тогда категория Т⊥ локально представима, достижимо вложена в K, и является рефлективной подкатегорией в К.
Доказательство: см. пример 4.1(2) в 1512.8119 и теорему/следствие 2.48 в книжке [AR].
2. Пусть К -- локально представимая абелева категория с проективной образующей (т.е., другими словами, категория моделей некоторой κ-арной аддитивной алгебраической теории), и пусть T -- множество объектов в K, такое что полная подкатегория Т⊥ ⊂ K замкнута относительно коядер морфизмов. Тогда Т⊥ также является локально представимой абелевой категорией с проективной образующей (которую можно построить, применив к проективной образующей категории K функтор-рефлектор Δ: K → Т⊥).
Ср. обсуждение в пишущейся статье про тильтинго-котильтинговое соответствие.
3. Обратно, пусть B -- локально представимая абелева категория с проективной образующей. Будем называть проективную образующую P ∈ B 0-хорошей, если функтор HomB(P,−): B → S-mod, где S = HomB(P,P)op, вполне строгий. Будем называть проективную образующую P ∈ B n-хорошей, если тот же точный функтор Hom индуцирует изоморфизмы групп Exti в категориях B и S-mod с номерами i ≤ n, и просто хорошей, если она n-хорошая для всех n.
Утверждается, что если проективная образующая P ∈ B 1-хорошая, то образ вполне строгого функтора HomB(P,−) имеет вид T⊥ ⊂ S-mod для некоторого множества S-модулей T. Если P n-хорошая для некоторого n ≥ 1, то ExtKi(U,C) = 0 для всех U из T и C из Т⊥, и всех i ≤ n.
В качестве множества T можно взять единственный S-модуль HomB(P,P(X))/HomB(P,P)(X), где X -- такое множество, что категория B является локально λ-представимой, где λ -- следующий кардинал за мощностью X. Или, как вариант -- совокупность всех S-модулей такого вида, где мощность X пробегает все мощности, меньшие κ, а категория B локально κ-представима.
Идея доказательства: см. пункт 4 постинга http://posic.livejournal.com/1559604.html .
4. Наконец, пусть B -- локально представимая абелева категория с проективной образующей P, и пусть X -- такое множество, что категория B локально λ-представима, где λ -- следующий кардинал за мощностью X. Тогда Q = P(X) -- хорошая (т.е., n-хорошая для всех n) проективная образующая категории B.
См. последние два абзаца постинга http://posic.livejournal.com/1561418.html ("идея доказательства пункта 3" там).
5. Обобщение пункта 3 выше: вместо того, чтобы полагать по определению S = HomB(P,P)op, можно рассматривать тройки (проективная образующая P ∈ B, ассоциативное кольцо R, инъективный гомоморфизм колец f: R → HomB(P,P)op). Такая тройка называется 0-хорошей, если соответствующий функтор B → R-mod вполне строгий, и n-хорошей, если он индуцирует изоморфизмы групп Exti с номерами i ≤ n.
Снова утверждается, что если тройка (B,R,f) 1-хорошая, то образ вполне строгого функтора B → R-mod имеет вид T⊥ ⊂ R-mod для некоторого множества R-модулей T, и т.д. как в пункте 3. Множество T берется состоящим из левых R-модулей HomB(P,P(X))/R(X), где X -- множество или множества соотв. мощности, как в пункте 3.
0. Пусть K -- абелева категория, Т -- класс объектов в К, и Т⊥ -- полная подкатегория, состоящая из всех объектов C из K, для которых HomK(U,C) = 0 = ExtK1(U,C) = 0 для всех объектов U из T. Тогда полная подкатегория Т⊥ замкнута относительно ядер морфизмов, расширений, и бесконечных произведений в K. Если при этом ExtK2(U,C) = 0 для всех U из T и C из Т⊥, то полная подкатегория Т⊥ ⊂ K замкнута также и относительно коядер морфизмов, и является таким образом абелевой категорией с точным функтором вложения Т⊥ → K.
Доказательство: см. статью [GL], предложение 1.1.
1. Пусть теперь K -- локально представимая абелева категория и Т -- множество объектов в К. Тогда категория Т⊥ локально представима, достижимо вложена в K, и является рефлективной подкатегорией в К.
Доказательство: см. пример 4.1(2) в 1512.8119 и теорему/следствие 2.48 в книжке [AR].
2. Пусть К -- локально представимая абелева категория с проективной образующей (т.е., другими словами, категория моделей некоторой κ-арной аддитивной алгебраической теории), и пусть T -- множество объектов в K, такое что полная подкатегория Т⊥ ⊂ K замкнута относительно коядер морфизмов. Тогда Т⊥ также является локально представимой абелевой категорией с проективной образующей (которую можно построить, применив к проективной образующей категории K функтор-рефлектор Δ: K → Т⊥).
Ср. обсуждение в пишущейся статье про тильтинго-котильтинговое соответствие.
3. Обратно, пусть B -- локально представимая абелева категория с проективной образующей. Будем называть проективную образующую P ∈ B 0-хорошей, если функтор HomB(P,−): B → S-mod, где S = HomB(P,P)op, вполне строгий. Будем называть проективную образующую P ∈ B n-хорошей, если тот же точный функтор Hom индуцирует изоморфизмы групп Exti в категориях B и S-mod с номерами i ≤ n, и просто хорошей, если она n-хорошая для всех n.
Утверждается, что если проективная образующая P ∈ B 1-хорошая, то образ вполне строгого функтора HomB(P,−) имеет вид T⊥ ⊂ S-mod для некоторого множества S-модулей T. Если P n-хорошая для некоторого n ≥ 1, то ExtKi(U,C) = 0 для всех U из T и C из Т⊥, и всех i ≤ n.
В качестве множества T можно взять единственный S-модуль HomB(P,P(X))/HomB(P,P)(X), где X -- такое множество, что категория B является локально λ-представимой, где λ -- следующий кардинал за мощностью X. Или, как вариант -- совокупность всех S-модулей такого вида, где мощность X пробегает все мощности, меньшие κ, а категория B локально κ-представима.
Идея доказательства: см. пункт 4 постинга http://posic.livejournal.com/1559604.html .
4. Наконец, пусть B -- локально представимая абелева категория с проективной образующей P, и пусть X -- такое множество, что категория B локально λ-представима, где λ -- следующий кардинал за мощностью X. Тогда Q = P(X) -- хорошая (т.е., n-хорошая для всех n) проективная образующая категории B.
См. последние два абзаца постинга http://posic.livejournal.com/1561418.html ("идея доказательства пункта 3" там).
5. Обобщение пункта 3 выше: вместо того, чтобы полагать по определению S = HomB(P,P)op, можно рассматривать тройки (проективная образующая P ∈ B, ассоциативное кольцо R, инъективный гомоморфизм колец f: R → HomB(P,P)op). Такая тройка называется 0-хорошей, если соответствующий функтор B → R-mod вполне строгий, и n-хорошей, если он индуцирует изоморфизмы групп Exti с номерами i ≤ n.
Снова утверждается, что если тройка (B,R,f) 1-хорошая, то образ вполне строгого функтора B → R-mod имеет вид T⊥ ⊂ R-mod для некоторого множества R-модулей T, и т.д. как в пункте 3. Множество T берется состоящим из левых R-модулей HomB(P,P(X))/R(X), где X -- множество или множества соотв. мощности, как в пункте 3.
