![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicВ развитие предыдущего постинга: пусть K -- абелева категория. Будем называть полную подкатегорию B ⊂ K
- 0-правоперпендикулярной подкатегорией, если существует класс морфизмов F ⊂ Mor K, такой что B состоит в точности из всех объектов C ∈ K, таких что морфизм HomK(f,C) является изоморфизмом для всех морфизмов f ∈ F; обозначение B = F⊥0;
- 1-правоперпендикулярной подкатегорией, если существует класс объектов T ⊂ Ob K, такой что B состоит в точности из всех объектов C ∈ K, таких что HomK(U,C) = 0 = ExtK1(U,C) для всех объектов U ∈ T; обозначение B = T⊥0,1;
- n-правоперпендикулярной подкатегорией, если существует класс объектов T ⊂ Ob K, такой что B = T⊥0,1, и при этом ExtKi(U,C) = 0 для всех объектов U ∈ T и C ∈ B, и всех i ≤ n; обозначение B = T⊥0..n;
Ясно, что всякая n-правоперпендикулярная подкатегория является одновременно (n−1)-правоперпендикулярной подкатегорией, если n ≥ 2. Менее очевидное наблюдение состоит в том, что всякая 1-правоперпендикулярная подкатегория является одновременно 0-правоперпендикулярной подкатегорией: достаточно взять в качестве F класс всех мономорфизмов с коядром, принадлежащим T.
Еще чуть более тонкая версия этого наблюдения состоит в том, что если категория K локально представима и T -- множество объектов, то в качестве F достаточно выбрать подходящее подмножество в классе всех морфизмов с коядрами, принадлежащими T. Далее, если категория K локально представима и F -- множество морфизмов в K, то соотвествующая 0-правоперпендикулярная подкатегория локально представима, достижимо вложена и рефлективна.
Легко проверить, что
- всякая 0-правоперпендикулярная подкатегория замкнута относительно бесконечных произведений и ядер;
- всякая 1-правоперпендикулярная подкатегория замкнута относительно (бесконечных произведений, ядер и) расширений;
- всякая 2-правоперпендикулярная подкатегория замкнута относительно (бесконечных произведений, ядер, расширений и) коядер.
Таким образом, всякая 2-правоперпендикулярная подкатегория в абелевой категории является абелевой категорией с точным функтором вложения B → K. Основной результат предыдущего постинга состоит в том, что классы всех
- абелевых, точно вложенных 0-правоперпендикулярных подкатегорий к множествам морфизмов в категориях модулей над ассоциативными кольцами;
- абелевых, точно вложенных 1-правоперпендикулярных подкатегорий к множествам объектов в категориях модулей над ассоциативными кольцами;
- 2-правоперпендикулярных подкатегорий к множествам объектов в категориях модулей над ассоциативными кольцами;
- ∞-правоперпендикулярных подкатегорий к множествам объектов в категориях модулей над ассоциативными кольцами --
рассматриваемых как абстрактные категории -- все совпадают между собой, и совпадают с классом всех локально представимых абелевых категорий с проективной образующей (он же класс всех категорий моделей аддитивных алгебраических теорий возможно бесконечной, но ограниченной арности).
Проективная образующая P такой абелевой категории B является n-хорошей тогда и только тогда, когда соответствующий точный функтор HomB(P,−) вкладывает B как n-правоперпендикулярную полную подкатегорию в категорию левых модулей над кольцом S = HomB(P,P)op.
- 0-правоперпендикулярной подкатегорией, если существует класс морфизмов F ⊂ Mor K, такой что B состоит в точности из всех объектов C ∈ K, таких что морфизм HomK(f,C) является изоморфизмом для всех морфизмов f ∈ F; обозначение B = F⊥0;
- 1-правоперпендикулярной подкатегорией, если существует класс объектов T ⊂ Ob K, такой что B состоит в точности из всех объектов C ∈ K, таких что HomK(U,C) = 0 = ExtK1(U,C) для всех объектов U ∈ T; обозначение B = T⊥0,1;
- n-правоперпендикулярной подкатегорией, если существует класс объектов T ⊂ Ob K, такой что B = T⊥0,1, и при этом ExtKi(U,C) = 0 для всех объектов U ∈ T и C ∈ B, и всех i ≤ n; обозначение B = T⊥0..n;
Ясно, что всякая n-правоперпендикулярная подкатегория является одновременно (n−1)-правоперпендикулярной подкатегорией, если n ≥ 2. Менее очевидное наблюдение состоит в том, что всякая 1-правоперпендикулярная подкатегория является одновременно 0-правоперпендикулярной подкатегорией: достаточно взять в качестве F класс всех мономорфизмов с коядром, принадлежащим T.
Еще чуть более тонкая версия этого наблюдения состоит в том, что если категория K локально представима и T -- множество объектов, то в качестве F достаточно выбрать подходящее подмножество в классе всех морфизмов с коядрами, принадлежащими T. Далее, если категория K локально представима и F -- множество морфизмов в K, то соотвествующая 0-правоперпендикулярная подкатегория локально представима, достижимо вложена и рефлективна.
Легко проверить, что
- всякая 0-правоперпендикулярная подкатегория замкнута относительно бесконечных произведений и ядер;
- всякая 1-правоперпендикулярная подкатегория замкнута относительно (бесконечных произведений, ядер и) расширений;
- всякая 2-правоперпендикулярная подкатегория замкнута относительно (бесконечных произведений, ядер, расширений и) коядер.
Таким образом, всякая 2-правоперпендикулярная подкатегория в абелевой категории является абелевой категорией с точным функтором вложения B → K. Основной результат предыдущего постинга состоит в том, что классы всех
- абелевых, точно вложенных 0-правоперпендикулярных подкатегорий к множествам морфизмов в категориях модулей над ассоциативными кольцами;
- абелевых, точно вложенных 1-правоперпендикулярных подкатегорий к множествам объектов в категориях модулей над ассоциативными кольцами;
- 2-правоперпендикулярных подкатегорий к множествам объектов в категориях модулей над ассоциативными кольцами;
- ∞-правоперпендикулярных подкатегорий к множествам объектов в категориях модулей над ассоциативными кольцами --
рассматриваемых как абстрактные категории -- все совпадают между собой, и совпадают с классом всех локально представимых абелевых категорий с проективной образующей (он же класс всех категорий моделей аддитивных алгебраических теорий возможно бесконечной, но ограниченной арности).
Проективная образующая P такой абелевой категории B является n-хорошей тогда и только тогда, когда соответствующий точный функтор HomB(P,−) вкладывает B как n-правоперпендикулярную полную подкатегорию в категорию левых модулей над кольцом S = HomB(P,P)op.
