R-мультипликативные системы

Пусть R -- полное, отделимое топологическое кольцо с единицей, имеющее счетную базу окрестностей нуля, состоящую из правых идеалов. (Левой) R-мультипликативной системой L называется правило, сопоставляющее каждому открытому правому идеалу I ⊂ R абелеву группу ^IL и каждому элементу r ∈ R и паре открытых правых идеалов I, J ⊂ R, таких что rI ⊂ J, отображение m_L(r,I,J): ^IL → ^JL, таким образом, что выполнены следующие аксиомы:

- если rI ⊂ J и sI ⊂ J (для двух открытых правых идеалов I, J ⊂ R и двух элементов r, s ∈ R), то сумма отображений m_L(r,I,J) + m_L(s,I,J) равна m_L(r+s,I,J)
- отображения m_L(1,I,I) -- тождественные;
- если rI ⊂ J и sJ ⊂ K (для трех открытых правых идеалов I, J, K ⊂ R и двух элементов r, s ∈ R), то композиция m_L(s,J,K)m_L(r,I,J) равна m_L(sr,I,K)
- группа ^RL, соответствующая единичному идеалу I = R ⊂ R, равна нулю.

Упражнение: показать, что в предположении первых трех условий четвертое эквивалентно тому, что отображение m_L(r,I,J) зануляется для всех r, принадлежащих J (таким образом, аддитивное семейство операторов вида m_L(r,I,J), действующих из ^IL в ^JL, индексировано дискретной абелевой группой R/J).

Категория R-msys всех R-мультипликативных систем изоморфна категории аддитивных функторов из некоторой предаддитивной категории в категорию абелевых групп. Таким образом, это абелева категория Гротендика со счетным множеством проективных образующих (соответствующих открытым идеалам I ⊂ R). Напомним, что категория левых R-контрамодулей R-contra является, в противоположность этому, локально представимой абелевой категорией с одной ℵ₁-представимой проективной образующей (и неточными, вообще говоря, функторами бесконечных прямых сумм, не говоря уже о направленных прямых пределах).

С R-мультипликативной системой L можно связать проективную систему (диаграмму) абелевых групп ^IL, индексированных частично упорядоченным множеством открытых правых идеалов в R с отношением включения; отображениями в проективной системе являются операторы m_L(1,I,J). На проективном пределе projlim_I ^IL R-мультипликативной системы L имеется естественная структура левого контрамодуля над топологическим кольцом R. Наоборот, для любого левого R-контрамодуля P абелевы группы ^IL = P/I×P образуют R-мультипликативную систему.

Функтор полной редукции red: R-contra → R-msys сопряжен слева к функтору проективного предела projlim: R-msys → R-contra. Функтор projlim не точен на всей абелевой категории R-мультикативных систем, но он точен на ее точной подкатегории, состоящей из всех R-мультипликативных систем L, в которых отображения m_L(1,I,J) сюръективны. Функтор red также не точен на всей абелевой категории R-контрамодулей. Наша цель -- показать, что функтор red является точным и вполне строгим на точной подкатегории (контра)плоских R-контрамодулей в R-contra с квазиобратным функтором projlim. Другими словами, red и projlim -- взаимно-обратные точные эквивалентности между точной категорией плоских R-контрамодулей и подходящей точной подкатегорией в R-msys.

R-мультипликативные системы - 2

(Левая) R-мультипликативная система L называется строгой, если для любой пары вложенных идеалов I ⊂ J ⊂ R отображение m_L(1,I,J): ^IL → ^JL индуцирует изоморфизм между группой ^JL и факторгруппой группы ^IL по сумме образов всех отображений m_L(r,K,I), где r ∈ J и K ⊂ R -- правый идеал в R, такой что rK ⊂ I.

Лемма 1. (1) Для любого R-контрамодуля P, R-мультипликативная система red(P) (с компонентами ^Ired(P) = P/I×P) является строгой.
(2) Для любой строгой R-мультипликативной системы L, отображение сопряжения red(projlim(L)) → L является изоморфизмом R-мультипликативных систем.

R-контрамодуль P называется отделимым, если пересечение его подконтрамодулей I×P по всем открытым правым идеалам I ⊂ R равно нулю.

Лемма 2. (1) Для любой R-мультипликативной системы L, R-контрамодуль projlim(L) отделим.
(2) Для любого левого R-контрамодуля P, морфизм сопряжения P → projlim(red(P)) сюръективен.
(3) Левый R-контрамодуль P отделим тогда и только тогда, когда морфизм сопряжения P → projlim(red(P)) является изоморфизмом.

Следствие 1. Функторы projlim и red являются взаимно-обратными эквивалентностями между полными подкатегориями строгих R-мультипликативных систем и отделимых R-контрамодулей в R-msys и R-contra.

Как показывают известные контрпримеры, категория, описываемая следствием 1, не очень хорошо себя ведет с гомологической точки зрения (в частности, полная подкатегория отделимых R-контрамодулей не замкнута не только относительно коядер, но даже и относительно расширений в абелевой категории R-contra). Нашей целью является описание некоторой полной подкатегории в этой категории, обладающей хорошими гомологическими свойствами.

***

Пусть N -- дискретный правый R-модуль; для любого открытого правого идеала I ⊂ R обозначим через N_(I) подгруппу элементов, аннулируемых I в N. Для любых двух правых идеалов I, J ⊂ R и элемента r ∈ R, такого что rI ⊂ J, отображение умножения на r, действующее из N в N, ограничивается до отображения r: N_(J) → N_(I).

Тензорным произведением дискретного правого R-модуля N и левой R-мультипликативной системы L называется факторгруппа прямой суммы абелевых групп N_(I) ⊗_Z ^IL по сумме образов всех разностей пар отображений из групп N_(J) ⊗_Z ^IL, индуцированных правыми и левыми действиями элементами r ∈ R, для которых rI ⊂ J. Контратензорное произведение N ⊙_R P дискретного правого R-модуля N и левого R-контрамодуля P естественно изоморфно тензорному произведению N ⊗_R red(P).

Левый R-контрамодуль P называется (контра)плоским, если функтор N → N ⊙_R P точен на категории дискретных правых R-модулей N. Строгая левая R-мультипликативная система L называется плоской, если функтор N → N ⊗_R L точен на категории дискретных правых R-модулей N. Из сказанного выше (включая лемму 1(1)) следует, что левый R-контрамодуль P плоский тогда и только тогда, когда левая R-мультипликативная система red(P) плоская.

Нашей целью является доказательство следующего результата.

Теорема. 1. Всякий плоский R-контрамодуль отделим.
2. Полная подкатегория плоских R-контрамодулей замкнута относительно расширений, ядер сюръективных отображений и направленных прямых пределов в R-contra.
3. Функтор red переводит короткие точные последовательности плоских R-контрамодулей в короткие точные последовательности плоских R-мультипликативных систем.
4. Полная подкатегория плоских R-мультипликативных систем замкнута относительно расширений, ядер сюръективных отображений и направленных прямых пределов в R-msys.
5. Функтор projlim переводит короткие точные последовательности плоских R-мультипликативных систем в короткие точные последовательности плоских R-контрамодулей.

В частности из пунктов 1, 3, 5 теоремы вытекает следующее

Следствие 2. Функторы projlim и red являются взаимно-обратными точными эквивалентностями между полными точными подкатегориями плоских R-мультипликативных систем и плоских R-контрамодулей в R-msys и R-contra.