R-мультипликативные системы - 2
Oct. 31st, 2015 09:14 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posic(Левая) R-мультипликативная система L называется строгой, если для любой пары вложенных идеалов I ⊂ J ⊂ R отображение mL(1,I,J): IL → JL индуцирует изоморфизм между группой JL и факторгруппой группы IL по сумме образов всех отображений mL(r,K,I), где r ∈ J и K ⊂ R -- правый идеал в R, такой что rK ⊂ I.
Лемма 1. (1) Для любого R-контрамодуля P, R-мультипликативная система red(P) (с компонентами Ired(P) = P/I×P) является строгой.
(2) Для любой строгой R-мультипликативной системы L, отображение сопряжения red(projlim(L)) → L является изоморфизмом R-мультипликативных систем.
R-контрамодуль P называется отделимым, если пересечение его подконтрамодулей I×P по всем открытым правым идеалам I ⊂ R равно нулю.
Лемма 2. (1) Для любой R-мультипликативной системы L, R-контрамодуль projlim(L) отделим.
(2) Для любого левого R-контрамодуля P, морфизм сопряжения P → projlim(red(P)) сюръективен.
(3) Левый R-контрамодуль P отделим тогда и только тогда, когда морфизм сопряжения P → projlim(red(P)) является изоморфизмом.
Следствие 1. Функторы projlim и red являются взаимно-обратными эквивалентностями между полными подкатегориями строгих R-мультипликативных систем и отделимых R-контрамодулей в R-msys и R-contra.
Как показывают известные контрпримеры, категория, описываемая следствием 1, не очень хорошо себя ведет с гомологической точки зрения (в частности, полная подкатегория отделимых R-контрамодулей не замкнута не только относительно коядер, но даже и относительно расширений в абелевой категории R-contra). Нашей целью является описание некоторой полной подкатегории в этой категории, обладающей хорошими гомологическими свойствами.
***
Пусть N -- дискретный правый R-модуль; для любого открытого правого идеала I ⊂ R обозначим через N(I) подгруппу элементов, аннулируемых I в N. Для любых двух правых идеалов I, J ⊂ R и элемента r ∈ R, такого что rI ⊂ J, отображение умножения на r, действующее из N в N, ограничивается до отображения r: N(J) → N(I).
Тензорным произведением дискретного правого R-модуля N и левой R-мультипликативной системы L называется факторгруппа прямой суммы абелевых групп N(I) ⊗Z IL по сумме образов всех разностей пар отображений из групп N(J) ⊗Z IL, индуцированных правыми и левыми действиями элементами r ∈ R, для которых rI ⊂ J. Контратензорное произведение N ⊙R P дискретного правого R-модуля N и левого R-контрамодуля P естественно изоморфно тензорному произведению N ⊗R red(P).
Левый R-контрамодуль P называется (контра)плоским, если функтор N → N ⊙R P точен на категории дискретных правых R-модулей N. Строгая левая R-мультипликативная система L называется плоской, если функтор N → N ⊗R L точен на категории дискретных правых R-модулей N. Из сказанного выше (включая лемму 1(1)) следует, что левый R-контрамодуль P плоский тогда и только тогда, когда левая R-мультипликативная система red(P) плоская.
Нашей целью является доказательство следующего результата.
Теорема. 1. Всякий плоский R-контрамодуль отделим.
2. Полная подкатегория плоских R-контрамодулей замкнута относительно расширений, ядер сюръективных отображений и направленных прямых пределов в R-contra.
3. Функтор red переводит короткие точные последовательности плоских R-контрамодулей в короткие точные последовательности плоских R-мультипликативных систем.
4. Полная подкатегория плоских R-мультипликативных систем замкнута относительно расширений, ядер сюръективных отображений и направленных прямых пределов в R-msys.
5. Функтор projlim переводит короткие точные последовательности плоских R-мультипликативных систем в короткие точные последовательности плоских R-контрамодулей.
В частности из пунктов 1, 3, 5 теоремы вытекает следующее
Следствие 2. Функторы projlim и red являются взаимно-обратными точными эквивалентностями между полными точными подкатегориями плоских R-мультипликативных систем и плоских R-контрамодулей в R-msys и R-contra.
Лемма 1. (1) Для любого R-контрамодуля P, R-мультипликативная система red(P) (с компонентами Ired(P) = P/I×P) является строгой.
(2) Для любой строгой R-мультипликативной системы L, отображение сопряжения red(projlim(L)) → L является изоморфизмом R-мультипликативных систем.
R-контрамодуль P называется отделимым, если пересечение его подконтрамодулей I×P по всем открытым правым идеалам I ⊂ R равно нулю.
Лемма 2. (1) Для любой R-мультипликативной системы L, R-контрамодуль projlim(L) отделим.
(2) Для любого левого R-контрамодуля P, морфизм сопряжения P → projlim(red(P)) сюръективен.
(3) Левый R-контрамодуль P отделим тогда и только тогда, когда морфизм сопряжения P → projlim(red(P)) является изоморфизмом.
Следствие 1. Функторы projlim и red являются взаимно-обратными эквивалентностями между полными подкатегориями строгих R-мультипликативных систем и отделимых R-контрамодулей в R-msys и R-contra.
Как показывают известные контрпримеры, категория, описываемая следствием 1, не очень хорошо себя ведет с гомологической точки зрения (в частности, полная подкатегория отделимых R-контрамодулей не замкнута не только относительно коядер, но даже и относительно расширений в абелевой категории R-contra). Нашей целью является описание некоторой полной подкатегории в этой категории, обладающей хорошими гомологическими свойствами.
***
Пусть N -- дискретный правый R-модуль; для любого открытого правого идеала I ⊂ R обозначим через N(I) подгруппу элементов, аннулируемых I в N. Для любых двух правых идеалов I, J ⊂ R и элемента r ∈ R, такого что rI ⊂ J, отображение умножения на r, действующее из N в N, ограничивается до отображения r: N(J) → N(I).
Тензорным произведением дискретного правого R-модуля N и левой R-мультипликативной системы L называется факторгруппа прямой суммы абелевых групп N(I) ⊗Z IL по сумме образов всех разностей пар отображений из групп N(J) ⊗Z IL, индуцированных правыми и левыми действиями элементами r ∈ R, для которых rI ⊂ J. Контратензорное произведение N ⊙R P дискретного правого R-модуля N и левого R-контрамодуля P естественно изоморфно тензорному произведению N ⊗R red(P).
Левый R-контрамодуль P называется (контра)плоским, если функтор N → N ⊙R P точен на категории дискретных правых R-модулей N. Строгая левая R-мультипликативная система L называется плоской, если функтор N → N ⊗R L точен на категории дискретных правых R-модулей N. Из сказанного выше (включая лемму 1(1)) следует, что левый R-контрамодуль P плоский тогда и только тогда, когда левая R-мультипликативная система red(P) плоская.
Нашей целью является доказательство следующего результата.
Теорема. 1. Всякий плоский R-контрамодуль отделим.
2. Полная подкатегория плоских R-контрамодулей замкнута относительно расширений, ядер сюръективных отображений и направленных прямых пределов в R-contra.
3. Функтор red переводит короткие точные последовательности плоских R-контрамодулей в короткие точные последовательности плоских R-мультипликативных систем.
4. Полная подкатегория плоских R-мультипликативных систем замкнута относительно расширений, ядер сюръективных отображений и направленных прямых пределов в R-msys.
5. Функтор projlim переводит короткие точные последовательности плоских R-мультипликативных систем в короткие точные последовательности плоских R-контрамодулей.
В частности из пунктов 1, 3, 5 теоремы вытекает следующее
Следствие 2. Функторы projlim и red являются взаимно-обратными точными эквивалентностями между полными точными подкатегориями плоских R-мультипликативных систем и плоских R-контрамодулей в R-msys и R-contra.
