R-мультипликативные системы
Oct. 31st, 2015 07:02 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть R -- полное, отделимое топологическое кольцо с единицей, имеющее счетную базу окрестностей нуля, состоящую из правых идеалов. (Левой) R-мультипликативной системой L называется правило, сопоставляющее каждому открытому правому идеалу I ⊂ R абелеву группу IL и каждому элементу r ∈ R и паре открытых правых идеалов I, J ⊂ R, таких что rI ⊂ J, отображение mL(r,I,J): IL → JL, таким образом, что выполнены следующие аксиомы:
- если rI ⊂ J и sI ⊂ J (для двух открытых правых идеалов I, J ⊂ R и двух элементов r, s ∈ R), то сумма отображений mL(r,I,J) + mL(s,I,J) равна mL(r+s,I,J)
- отображения mL(1,I,I) -- тождественные;
- если rI ⊂ J и sJ ⊂ K (для трех открытых правых идеалов I, J, K ⊂ R и двух элементов r, s ∈ R), то композиция mL(s,J,K)mL(r,I,J) равна mL(sr,I,K)
- группа RL, соответствующая единичному идеалу I = R ⊂ R, равна нулю.
Упражнение: показать, что в предположении первых трех условий четвертое эквивалентно тому, что отображение mL(r,I,J) зануляется для всех r, принадлежащих J (таким образом, аддитивное семейство операторов вида mL(r,I,J), действующих из IL в JL, индексировано дискретной абелевой группой R/J).
Категория R-msys всех R-мультипликативных систем изоморфна категории аддитивных функторов из некоторой предаддитивной категории в категорию абелевых групп. Таким образом, это абелева категория Гротендика со счетным множеством проективных образующих (соответствующих открытым идеалам I ⊂ R). Напомним, что категория левых R-контрамодулей R-contra является, в противоположность этому, локально представимой абелевой категорией с одной ℵ1-представимой проективной образующей (и неточными, вообще говоря, функторами бесконечных прямых сумм, не говоря уже о направленных прямых пределах).
С R-мультипликативной системой L можно связать проективную систему (диаграмму) абелевых групп IL, индексированных частично упорядоченным множеством открытых правых идеалов в R с отношением включения; отображениями в проективной системе являются операторы mL(1,I,J). На проективном пределе projlimI IL R-мультипликативной системы L имеется естественная структура левого контрамодуля над топологическим кольцом R. Наоборот, для любого левого R-контрамодуля P абелевы группы IL = P/I×P образуют R-мультипликативную систему.
Функтор полной редукции red: R-contra → R-msys сопряжен слева к функтору проективного предела projlim: R-msys → R-contra. Функтор projlim не точен на всей абелевой категории R-мультикативных систем, но он точен на ее точной подкатегории, состоящей из всех R-мультипликативных систем L, в которых отображения mL(1,I,J) сюръективны. Функтор red также не точен на всей абелевой категории R-контрамодулей. Наша цель -- показать, что функтор red является точным и вполне строгим на точной подкатегории (контра)плоских R-контрамодулей в R-contra с квазиобратным функтором projlim. Другими словами, red и projlim -- взаимно-обратные точные эквивалентности между точной категорией плоских R-контрамодулей и подходящей точной подкатегорией в R-msys.
- если rI ⊂ J и sI ⊂ J (для двух открытых правых идеалов I, J ⊂ R и двух элементов r, s ∈ R), то сумма отображений mL(r,I,J) + mL(s,I,J) равна mL(r+s,I,J)
- отображения mL(1,I,I) -- тождественные;
- если rI ⊂ J и sJ ⊂ K (для трех открытых правых идеалов I, J, K ⊂ R и двух элементов r, s ∈ R), то композиция mL(s,J,K)mL(r,I,J) равна mL(sr,I,K)
- группа RL, соответствующая единичному идеалу I = R ⊂ R, равна нулю.
Упражнение: показать, что в предположении первых трех условий четвертое эквивалентно тому, что отображение mL(r,I,J) зануляется для всех r, принадлежащих J (таким образом, аддитивное семейство операторов вида mL(r,I,J), действующих из IL в JL, индексировано дискретной абелевой группой R/J).
Категория R-msys всех R-мультипликативных систем изоморфна категории аддитивных функторов из некоторой предаддитивной категории в категорию абелевых групп. Таким образом, это абелева категория Гротендика со счетным множеством проективных образующих (соответствующих открытым идеалам I ⊂ R). Напомним, что категория левых R-контрамодулей R-contra является, в противоположность этому, локально представимой абелевой категорией с одной ℵ1-представимой проективной образующей (и неточными, вообще говоря, функторами бесконечных прямых сумм, не говоря уже о направленных прямых пределах).
С R-мультипликативной системой L можно связать проективную систему (диаграмму) абелевых групп IL, индексированных частично упорядоченным множеством открытых правых идеалов в R с отношением включения; отображениями в проективной системе являются операторы mL(1,I,J). На проективном пределе projlimI IL R-мультипликативной системы L имеется естественная структура левого контрамодуля над топологическим кольцом R. Наоборот, для любого левого R-контрамодуля P абелевы группы IL = P/I×P образуют R-мультипликативную систему.
Функтор полной редукции red: R-contra → R-msys сопряжен слева к функтору проективного предела projlim: R-msys → R-contra. Функтор projlim не точен на всей абелевой категории R-мультикативных систем, но он точен на ее точной подкатегории, состоящей из всех R-мультипликативных систем L, в которых отображения mL(1,I,J) сюръективны. Функтор red также не точен на всей абелевой категории R-контрамодулей. Наша цель -- показать, что функтор red является точным и вполне строгим на точной подкатегории (контра)плоских R-контрамодулей в R-contra с квазиобратным функтором projlim. Другими словами, red и projlim -- взаимно-обратные точные эквивалентности между точной категорией плоских R-контрамодулей и подходящей точной подкатегорией в R-msys.
