![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Oct. 14th, 2015
Пусть A -- абелева категория с множеством образующих, в которой существуют произвольные прямые пределы и функтор Hom из любого объекта сохраняет λ-направленные прямые пределы для достаточно больших кардиналов λ.
Пусть S -- какое-то множество объектов категории A; обозначим через C класс объектов, ExtA1-ортогональных справа к S и через F класс объектов, ExtA1-ортогональных слева к C.
Пусть X -- объект категории A, который можно вложить в объект из класса C. Тогда его можно вложить в объект из класса C таким образом, что коядро будет принадлежать классу F. При этом это коядро будет трансфинитно-итерированным расширением объектов из S, в смысле (не обязательно точного) направленного прямого предела.
Обратное верно даже в большей общности: в любой абелевой категории класс объектов, Ext1-ортогональных слева к фиксированному объекту справа, замкнут относительно трансфинитно-итерированных расширений в смысле направленного прямого предела (тех из них, которые существуют, в смысле, существуют необходимые для их построения прямые пределы).
Доказательства следуют в русле теоремы 2.5 и леммы 4.4 работы J. Rosicky, "Flat covers and factorizations", Journ. of Algebra 253, 2002 (а также по ссылке от теоремы 2.5 и двойственной версии леммы 4.4).
Current mood: не зря съездил в Брно!
Пусть S -- какое-то множество объектов категории A; обозначим через C класс объектов, ExtA1-ортогональных справа к S и через F класс объектов, ExtA1-ортогональных слева к C.
Пусть X -- объект категории A, который можно вложить в объект из класса C. Тогда его можно вложить в объект из класса C таким образом, что коядро будет принадлежать классу F. При этом это коядро будет трансфинитно-итерированным расширением объектов из S, в смысле (не обязательно точного) направленного прямого предела.
Обратное верно даже в большей общности: в любой абелевой категории класс объектов, Ext1-ортогональных слева к фиксированному объекту справа, замкнут относительно трансфинитно-итерированных расширений в смысле направленного прямого предела (тех из них, которые существуют, в смысле, существуют необходимые для их построения прямые пределы).
Доказательства следуют в русле теоремы 2.5 и леммы 4.4 работы J. Rosicky, "Flat covers and factorizations", Journ. of Algebra 253, 2002 (а также по ссылке от теоремы 2.5 и двойственной версии леммы 4.4).
Current mood: не зря съездил в Брно!
Видимо, общая формулировка должна быть примерно такой. Пусть R0 ← R1 ← R2 ← … -- проективная система ассоциативных колец и сюръективных отображений между ними, и пусть Fn -- деконструируемый класс левых Rn-модулей, замкнутый относительно прямых слагаемых, состоящий из (не всех, но только) плоских Rn-модулей, заданный для всех n и переводимый внутрь класса Fn−1 функтором редукции Rn−1⊗Rn−. Предположим, кроме того, что класс Fn содержит все проективные Rn-модули и замкнут относительно операций перехода к ядру сюръективного морфизма Rn-модулей.
Тогда класс F всех плоских левых контрамодулей над топологическим кольцом R = lim Rn, редукции которых до Rn-модулей принадлежат Fn, является левой стороной полной наследственной теории кокручения на абелевой категории левых R-контрамодулей.
Доказательство основывается на следующих сообращениях:
1. Будем называть Rn-модулями Fn-кручения левые Rn-модули, Ext1-перпендикулярные к модулям из класса Fn (заметим, что всякий Rn-модуль Fn-кокручения является одновременно Rn+1-модулем Fn+1-кокручения; обратное не утверждается). Проверяется, что все Rn-модули Fn-кокручения, рассматриваемые как левые R-контрамодули, Ext1-перпендикулярны справа к классу F.
2. Всякий левый R-контрамодуль, перпендикулярный слева ко всем инъективным левым Rn-модулям, рассматриваемым как левые R-контрамодули, для всех n, -- является проективным пределом своих редукций до Rn-модулей. Левый R-контрамодуль перпендикулярен слева ко всем Rn-модулям Fn-кокручения тогда и только тогда, когда он принадлежит к классу F.
3. Функторы редукции R-контрамодулей до Rn-модулей, будучи левыми сопряженными функторами, коммутируют с индуктивными пределами. Индуктивный предел цепочки плоских R-контрамодулей, занумерованных вполне упорядоченным множеством индексов, с плоскими факторконтрамодулями каждого контрамодуля в цепочке по индуктивному пределу предыдущих, является плоским R-контрамодулем. Индуктивные пределы начальных отрезков такой цепочки являются подконтрамодулями индуктивного предела всей цепочки с плоским факторконтрамодулем, изоморфным индуктивному пределу факторконтрамодулей контрамодулей из остатка (конечного отрезка) цепочки по индуктивному пределу начального отрезка. В этом смысле можно говорить о трансфинитно-итерированных расширениях плоских R-контрамодулей.
4. Класс левых R-контрамодулей F "деконструируем": он состоит в точности из трансфинитно-итерированных расширений контрамодулей этого класса с мощностью, ограниченной достаточно большим кардиналом.
5. Всякий левый R-контрамодуль, являющийся проективным пределом своих редукций до Rn-модулей, можно вложить в левый R-контрамодуль, перпендикулярный справа ко всем R-контрамодулям из класса F (очевидное следствие пункта 1). Согласно пункту 4 и основной теореме из предыдущего постинга, отсюда можно заключить, что такой R-контрамодуль можно вложить в R-контрамодуль, перпендикулярный справа к классу F, с коядром из класса F.
6. Свободные левые R-контрамодули принадлежат к классу F. Подконтрамодули свободных R-контрамодулей являются проективными пределами своих редукций до Rn-контрамодулей. Согласно лемме Салче (или ее доказательству), отсюда следует, что всякий левый R-контрамодуль можно представить как факторконтрамодуль контрамодуля из класса F по подконтрамодулю из перпендикулярного справа класса.
7. Класс левых R-контрамодулей F (содержит свободные контрамодули и) замкнут относительно операции перехода к ядру сюръективного морфизма. Поэтому ортогональный к нему справа класс замкнут относительно операции перехода к коядру вложения. Согласно пункту 6, всякий левый R-контрамодуль можно представить как факторконтрамодуль контрамодуля из класса F по подконтрамодулю из перпендикулярного класса; согласно пункту 5, всякий контрамодуль из класса F можно вложить в контрамодуль из перпендикулярного класса так, чтобы факторконтрамодуль принадлежал к классу F. Согласно "лемме Салче для бедных" 9.1.2 из полубесконечной книжки, отсюда следует, что всякий левый R-контрамодуль можно вложить в R-контрамодуль, перпендикулярный справа к классу F, с коядром из класса F.
P.S. Все условия плоскости в этих рассуждениях можно заменить на условия "плоскости применительно к проективной системе колец": вместо "плоских левых Rn-модулей", можно говорить о левых Rn-модулях, у которых зануляются все высшие группы Tor с кольцом/модулем Rn−1 над Rn. Последнее условие, однако, похоже, зависит от способа представления топологического кольца R в виде проективной системы его дискретных факторколец Rn.
Тогда класс F всех плоских левых контрамодулей над топологическим кольцом R = lim Rn, редукции которых до Rn-модулей принадлежат Fn, является левой стороной полной наследственной теории кокручения на абелевой категории левых R-контрамодулей.
Доказательство основывается на следующих сообращениях:
1. Будем называть Rn-модулями Fn-кручения левые Rn-модули, Ext1-перпендикулярные к модулям из класса Fn (заметим, что всякий Rn-модуль Fn-кокручения является одновременно Rn+1-модулем Fn+1-кокручения; обратное не утверждается). Проверяется, что все Rn-модули Fn-кокручения, рассматриваемые как левые R-контрамодули, Ext1-перпендикулярны справа к классу F.
2. Всякий левый R-контрамодуль, перпендикулярный слева ко всем инъективным левым Rn-модулям, рассматриваемым как левые R-контрамодули, для всех n, -- является проективным пределом своих редукций до Rn-модулей. Левый R-контрамодуль перпендикулярен слева ко всем Rn-модулям Fn-кокручения тогда и только тогда, когда он принадлежит к классу F.
3. Функторы редукции R-контрамодулей до Rn-модулей, будучи левыми сопряженными функторами, коммутируют с индуктивными пределами. Индуктивный предел цепочки плоских R-контрамодулей, занумерованных вполне упорядоченным множеством индексов, с плоскими факторконтрамодулями каждого контрамодуля в цепочке по индуктивному пределу предыдущих, является плоским R-контрамодулем. Индуктивные пределы начальных отрезков такой цепочки являются подконтрамодулями индуктивного предела всей цепочки с плоским факторконтрамодулем, изоморфным индуктивному пределу факторконтрамодулей контрамодулей из остатка (конечного отрезка) цепочки по индуктивному пределу начального отрезка. В этом смысле можно говорить о трансфинитно-итерированных расширениях плоских R-контрамодулей.
4. Класс левых R-контрамодулей F "деконструируем": он состоит в точности из трансфинитно-итерированных расширений контрамодулей этого класса с мощностью, ограниченной достаточно большим кардиналом.
5. Всякий левый R-контрамодуль, являющийся проективным пределом своих редукций до Rn-модулей, можно вложить в левый R-контрамодуль, перпендикулярный справа ко всем R-контрамодулям из класса F (очевидное следствие пункта 1). Согласно пункту 4 и основной теореме из предыдущего постинга, отсюда можно заключить, что такой R-контрамодуль можно вложить в R-контрамодуль, перпендикулярный справа к классу F, с коядром из класса F.
6. Свободные левые R-контрамодули принадлежат к классу F. Подконтрамодули свободных R-контрамодулей являются проективными пределами своих редукций до Rn-контрамодулей. Согласно лемме Салче (или ее доказательству), отсюда следует, что всякий левый R-контрамодуль можно представить как факторконтрамодуль контрамодуля из класса F по подконтрамодулю из перпендикулярного справа класса.
7. Класс левых R-контрамодулей F (содержит свободные контрамодули и) замкнут относительно операции перехода к ядру сюръективного морфизма. Поэтому ортогональный к нему справа класс замкнут относительно операции перехода к коядру вложения. Согласно пункту 6, всякий левый R-контрамодуль можно представить как факторконтрамодуль контрамодуля из класса F по подконтрамодулю из перпендикулярного класса; согласно пункту 5, всякий контрамодуль из класса F можно вложить в контрамодуль из перпендикулярного класса так, чтобы факторконтрамодуль принадлежал к классу F. Согласно "лемме Салче для бедных" 9.1.2 из полубесконечной книжки, отсюда следует, что всякий левый R-контрамодуль можно вложить в R-контрамодуль, перпендикулярный справа к классу F, с коядром из класса F.
P.S. Все условия плоскости в этих рассуждениях можно заменить на условия "плоскости применительно к проективной системе колец": вместо "плоских левых Rn-модулей", можно говорить о левых Rn-модулях, у которых зануляются все высшие группы Tor с кольцом/модулем Rn−1 над Rn. Последнее условие, однако, похоже, зависит от способа представления топологического кольца R в виде проективной системы его дискретных факторколец Rn.