Прокогерентные кольца и fp-инъективные дискретные модули - 0

Топологическое кольцо называется прокогерентным слева, если его можно представить в виде проективного предела последовательности когерентных слева колец и сюръективных морфизмов с ядрами, являющимися конечно-порожденными левыми идеалами (снабженного топологией проективного предела).

Почему такое определение -- в смысле, зачем условие, что ядра конечно порождены как левые идеалы? Затем, что первое ключевое понятие, связанное с когерентными кольцами -- это конечно-представимые модули.

Дискретный модуль над прокогерентным слева кольцом называется конечно представимым, если его структура модуля происходит из структуры модуля над одним из колец в проективной системе из определения прокогерентного кольца, причем этот модуль конечно представим.

На самом деле, конечно, это неправильно сформулированное определение, потому что правильная формулировка не должна зависеть от выбора проективной системы, представляющей данное прокольцо/топологическое кольцо.

Правильное определение могло бы, например, требовать, чтобы функтор Hom из нашего модуля коммутировал с направленными индуктивными пределами модулей по второму аргументу, как обычно делают в теории категорий. Тогда надо доказывать, что 1. всякий конечно представимый модуль является модулем над некоторым дискретным факторкольцом нашего топологического кольца, 2. над любым кольцом из проективной системы этот модуль конечно представим, и 3. наоборот, любой конечно представимый модуль над кольцом из проективной системы конечно представим над прокогерентным кольцом.

Еще более фундаментальный подход состоял бы в том, чтобы определить понятие разумного (reasonable) дискретного факторкольца прокогерентного кольца как такого факторкольца, что если оно оказывается факторкольцом другого, большего дискретного факторкольца этого прокогерентного кольца, то соответствующее ядро конечно порождено как левый идеал. После этого надо проверять, что любое факторкольцо разумного факторкольца прокогерентного кольца по конечно порожденному слева двустороннему идеалу разумно и кольца из проективной системы разумны. Заодно надо бы разобраться, какие из этих утверждений на самом деле зависят от условия когерентности колец в проективной системе, а какие только от условия конечной порожденности идеалов.

Как бы там ни было, ответ на исходный вопрос прост: нас интересуют конечно-представимые модули. Так вот, условие конечной порожденности слева идеалов-ядер нужно для того, чтобы модуль, конечно представимый над одним из колец в цепочке, был также конечно представим над любым последующим кольцом (и наоборот).

Прокогерентные кольца и fp-инъективные дискретные модули - 1

Пусть R = lim_n R_n -- прокогерентное слева топологическое кольцо. Для любого дискретного левого R-модуля M, обозначим через _RnM максимальный R-подмодуль в M, структура R-модуля на котором происходит из структуры R_n-модуля.

Дискретный левый R-модуль J называется fp-инъективным, если функтор Hom в него сохраняет точность коротких точных последовательностей конечно-представимых дискретных левых R-модулей.

Лемма 1. Дискретный левый R-модуль J fp-инъективен тогда и только тогда, когда для любого n его подмодуль _RnJ является fp-инъективным левым R_n-модулем.

Лемма 2. Функтор Hom из конечно-представимого дискретного левого R-модуля сохраняет точность коротких последовательностей fp-инъективных левых R-модулей. В частности, функтор J → _RnJ точен на категории fp-инъективных дискретных левых R-модулей.

Место категорий контрамодулей в рамках общей теории категорий

"Категории модулей = (приблизительно) = абелевы категории Гротендика с достаточным количеством проективных объектов"

Равенство, в самом деле, довольно приблизительное; точнее было бы сказать, что категории модулей -- это абелевы категории Гротендика, допускающие одну компактную проективную образующую. Когда есть множество компактных проективных образующих -- это категория модулей над "большим кольцом" ( = аддитивных функторов из какой-то (пред)аддитивной категории в абелевы группы). Не знаю, насколько в таком виде это уже буквально верно, или надо еще какие-то условия добавить; но похоже, что близко к верному.

"Категории контрамодулей = (приблизительно) = абелевы λ-гротендиковы категории с достаточным количеством проективных объектов"

Здесь λ -- какой-то (лучше предполагать, что регулярный) кардинал; λ-гротендикова категория -- это абелева категория с множеством образующих, в которой существуют все прямые пределы, и точны функторы λ-направленных прямых пределов. (В частности, абелева категория Гротендика в обычном смысле -- это абелева ω-гротендикова категория, где ω обозначает счетную мощность.)

Current mood: не зря съездил в Брно!

P.S. Второе равенство тоже очень приблизительно, конечно. Скажем, в категориях контрамодулей над топологическими кольцами отображение из прямой суммы любого набора проективных объектов в их прямое произведение всегда инъективно. Ниоткуда, кажется, не следует, что подобным свойством должны обладать любые λ-гротендиковы/локально представимые абелевы категории с достаточным количеством проективных объектов. (Двойственное условие -- чтобы отображение из прямой суммы набора инъективных объектов в их прямое произведение было сюръективным -- почитай, для одних только категорий, противоположных к естественно встречающимся, и бывает выполнено.)