Некоммутативная рациональная теория гомотопий - 2

При написании раздела 4.8 мемуара Two kinds of derived categories ... я держал в голове менее естественное рассуждение, доказывающее более общее утверждение, но почему-то не вставил его в текст даже в виде замечания. Что, вообще говоря, для меня не характерно (обычно я не скуплюсь ни на замечания, ни на альтернативные доказательства); но тут почему-то испугался. Теперь расхлебывать.

Пусть CDG-коалгебра C = (C,d,h) снабжена комультипликативной возрастающей фильтрацией F, сохраняемой дифференциалом. Тогда присоединенная градуированная коалгебра gr^FC имеет тоже структуру CDG-коалгебры с линейной функцией кривизны, получаемой ограничением h на F₀C; в частности, F₀C является CDG-коалгеброй, которую можно рассматривать как CDG-подкоалгебру одновременно в C и gr^FC, или как CDG-факторкоалгебру gr^FC. В частности, компоненты F_nC/F_n−1C присоединенной градуированной факторкоалгебры gr^FC являются CDG-бикомодулями над F₀C.

Пусть теперь f: C → D -- морфизм CDG-коалгебр, снабженных фильтрациями F как выше, согласованный с этими фильтрациями; предположим дополнительно, что отображение F₀C → F₀D -- изоморфизм CDG-коалгебр.

Теорема. Допустим, что конус морфизма gr_FC → gr_FD является коацикличным CDG-бикомодулем над F₀C = F₀D. Тогда функторы ко- и контраограничения скаляров D^co(C-comod) → D^co(D-comod) и D^ctr(C-contra) → D^ctr(D-contra) -- эквивалентности триангулированных категорий.

В теореме 4.8 мемуара "Two kinds ..." эти утверждения доказываются в присутствии дополнительных требований инъективности левых или правых градуированых модулей gr^FC и gr^FD над F₀C = F₀D, каковые требования являются излишними.

Доказательство теоремы: функторы ко- и контраограничения скаляров между ко- и контрапроизводными категориями CDG-ко- и контрамодулей являются эквивалентностями тогда и только тогда, когда таковыми являются сопряженные к ним функторы ко- и контрарасширения скаляров. Последние же два функтора переводятся друг в друга ко-контра соответствием (раздел 5.4 мемуара "Two kinds ...") Поэтому достаточно доказать утверждение про копроизводные категории CDG-комодулей.

Далее, всякий неприводимый CDG-комодуль над C или D является CDG-комодулем над F₀C = F₀D (см. обсуждение неприводимых CDG-комодулей в разделе 5.5 того же мемуара). В частности, всякий неприводимый CDG-комодуль над D приходит из неприводимого CDG-комодуля над C. Поскольку неприводимые CDG-комодули являются компактными образующими копроизводной категории, достаточно показать, что функтор коограничения скаляров индуцирует изоморфизмы пространств Hom в копроизводной категории между неприводимыми CDG-комодулями.

Морфизмы в копроизводных категориях CDG-комодулей над C и D между двумя конечномерными CDG-комодулями над gr^FC или gr^FD мы будем вычислять с помощью кобар-резольвент второго аргумента. Фильтрации F на CDG-коалгебрах C и D индуцируют фильтрации на кобар-комплексах, вычисляющих интересующие нас пространства Hom. Присоединенные факторкомплексы к этим фильтрациям суть комплексы, вычисляющие пространства Hom в копроизводных категориях CDG-комодулей над градуированными CDG-коалгебрами gr^FC и gr^FD.

Градуировочная компонента градуировки n такого присоединенного факторкомплекса представляет собой прямую сумму тензорных произведений градуировочных компонент градуированной CDG-коалгебры gr^FC или gr^FD суммарной градуировки n, помноженную тензорно на второй аргумент функтора Hom и на пространство, двойственное к первому аргументу. Профильтровав эту градуировочную компоненту по числу входящих в нее тензорных сомножителей, представляющих собой градуировочные компоненты gr^FC или gr^FD градуировки, большей нуля, можно получить ее с помощью конечной итерации операций конуса и сдвига из комплексов, представляющих собой прямую сумму тензорных произведений каких-то фиксированных компонент положительной градуировки в градуированных CDG-коалгебрах gr^FC или gr^FD и произвольного числа расставленных между ними и по краям тензорных сомножителей gr^FC или gr^FD. Такая бесконечная прямая сумма снабжается кобар дифференциалом, отражающим структуры CDG-бикомодулей над F₀C = F₀D на градуировочных компонентах CDG-коалгебры gr^FC и gr^FD, а также структуры CDG-модулей над F₀C = F₀D на двух аргументах функтора Hom.

Теперь уже нетрудно заметить, что если конуса морфизмов между градуировочными компонентами CDG-коалгебр gr^FC и gr^FD являются коацикличными CDG-бикомодулями над F₀C = F₀D, то морфизм между двумя комплексами вышеописанного типа, связанными с градуированными CDG-коалгебрами gr^FC и gr^FD, является квазиизоморфизмом.

Некоммутативная рациональная теория гомотопий - 3

На самом деле, даже и общности, развитой в предыдущем постинге, недостаточно для целей чаемого приложения к некоммутативной теории гомотопий. Похоже, что можно доказать следующее далеко идущее обобщение теоремы из предыдущего постинга.

Будем называть морфизм CDG-коалгебр над полем слабой эквивалентностью, если связанный с ним функтор коограничения скаляров является эквивалентностью копроизводных категорий CDG-комодулей, или, что все равно, правый производный функтор корасширения скаляров является эквивалентностью копроизводных категорий CDG-комодулей, или левый производный функтор контрарасширения скаляров является эквивалентностью контрапроизводных категорий CDG-контрамодулей, или функтор контраограничения скаляров является эквивалентностью контрапроизводных категорий CDG-контрамодулей.

Теорема. Пусть CDG-коалгебры C и D снабжены исчерпывающими возрастающими фильтрациями F, согласованными с коумножениями и дифференциалами, и пусть морфизм CDG-коалгебр f: C → D согласован с фильтрациями. Предположим, что для всех n ≥ 1 конус индуцированного морфизма присоединенных факторкомпонент F_nC/F_n−1C → F_nD/F_n−1D является коацикличным CDG-бикомодулем над F₀D. Тогда если ограничение морфизма f на нулевые компоненты фильтрации F₀C → F₀D является слабой эквивалентностью CDG-коалгебр, то таковой же является и сам морфизм f: C → D.

Доказательство: функторы коограничения скаляров, действующие между копроизводными категориями CDG-комодулей над F₀C, F₀D, C и D образуют коммутативный квадрат; то же касается и функторов коограничения скаляров, действующих между абсолютными производными категориями конечномерных CDG-комодулей над этими четырьмя CDG-коалгебрами. Далее, функтор коограничения скаляров, действующий между абсолютными производными категориями конечномерных CDG-комодулей над F₀C и F₀D, индуцирует эквивалентность их идемпотентных пополнений, поскольку это категории компактных объектов в копроизводных категориях CDG-комодулей над F₀C и F₀D, функтор ограничения скаляров между которыми является эквивалентностью по предположению теоремы.

Поскольку всякий конечномерный CDG-комодуль над CDG-коалгеброй D допускает конечную фильтрацию CDG-подкомодулями с присоединенными факторами -- CDG-комодулями над F₀D, и аналогично для CDG-коалгебры C, образы конечномерных CDG-комодулей над F₀C составляют множество компактных образующих как в копроизводной категории CDG-комодулей над C, так и в копроизводной категории CDG-комодулей над D. Поэтому остается показать, что функтор коограничения скаляров D^co(C-comod) → D^co(D-comod) индуцирует изоморфизмы пространств Hom в копроизводных категориях CDG-комодулей над C и D между конечномерными CDG-комодулями над F₀C.

С любой конечной последовательностью (правый CDG-комодуль, CDG-коалгебра, CDG-бикомодуль, CDG-коалгебра, CDG-бикомодуль, ..., CDG-бикомодуль, CDG-коалгебра, левый CDG-комодуль), где "CDG-комодуль" или "CDG-бикомодуль" является CDG-(би)комодулем над CDG-коалгеброй или CDG-коалгебрами, рядом с которой или между которыми он стоит, можно связать следующий кобар-комплекс. Как когомологически градуированное векторное пространство, он является прямой суммой тензорных произведений CDG-(би)комодулей и CDG-коалгебр последовательности в том порядке, в котором они в ней стоят, причем всякий CDG-(би)комодуль входит ровно один раз, а CDG-коалгебра входит любое целое неотрицательное число раз. Дифференциал в комплексе является суммой дифференциала, индуцированного дифференциалами на CDG-(би)комодулях и CDG-коалгебрах, и дифференциала, индуцированного (би)кодействиями на CDG-бикомодулях и коумножениями на CDG-коалгебрах.

Ввиду соображений, изложенных в предыдущем постинге, для доказательства теоремы достаточно показать следующее. Пусть имеется морфизм между двумя цепочками CDG-(би)комодулей и CDG-коалгебр (одинаковой длины) как выше. Тогда если каждый входящий в этот морфизм цепочек морфизм CDG-(би)комодулей имеет коацикличный (как CDG-(би)комодуль над соотвествующей CDG-коалгеброй или парой CDG-коалгебр из второй цеочки) конус, а каждый входящий морфизм CDG-коалгебр является слабой эквивалентностью, то индуцированный морфизм кобар-комплексов -- квазиизоморфизм.

В самом деле, начнем с первой цепочки и будем заменять в ней сначала CDG-коалгебры, а потом и CDG-(би)комодули на соответствующие CDG-коалгебры и CDG-(би)комодули из второй цепочки, по одной штуке за раз. Таким образом, мы сведем вопрос к ситуации, когда две цепочки отличаются только в одной CDG-коалгебре или только в одном CDG-(би)комодуле. Во втором случае, сразу ясно, что если конус соответствующего морфизма CDG-(би)комодулей коацикличен, то коацикличен и конус морфизма между кобар-комплексами. В первом случае, нужно рассмотреть возрастающую фильтрацию на кобар-комплексах по числу тензорных сомножителей, принадлежащий заменяемой CDG-коалгебре.

Главной частью дифференциала на кобар-комплексах по отношению к этой фильтрации останется сумма трех слагаемых, связанных с заменяемой CDG-коалгеброй и ее кодействием на окружающих ее CDG-(би)комодулях. Вопрос о том, является ли индуцированный морфизм кобар-комплексов цепочек CDG-коалгебр и CDG-(би)комодулей квазиизоморфизмом сведется, таким образом, к случаю двух цепочек, каждая из которых из только одной заменяемой CDG-коалгебры и двух CDG-комодулей по краям от нее, правого и левого (одинаковых в двух цепочках). Далее, можно профильтровать CDG-комодули по краям их конечномерными подкомодулями, сводя вопрос к случаю, когда эти CDG-комодули конечномерны. Тогда искомый квазиизоморфизм становится одной из формулировок свойства слабой эквивалентности морфизма CDG-коалгебр.

Теорема доказана.

Upd.: Ср. со старым постингом http://posic.livejournal.com/915115.html