Некоммутативная рациональная теория гомотопий - 4

Немногие, вероятно, отдают себе отчет, что конструкция канонической фильтрации комплекса существует в двух двойственных вариантах. Пусть … → Cⁿ⁻¹ → Cⁿ → Cⁿ⁺¹ → Cⁿ⁺² → … -- комплекс векторных пространств; тогда подкомплекс в C с пространствами когомологий как у C в когомологических градуироваках ≤ n и нулевыми в когомологических градуировках ≥ n+1 можно построить как

… → Cⁿ⁻¹ → ker(dⁿ) → 0 → 0 → …,

а можно и как

… → Cⁿ⁻¹ → Cⁿ → im(dⁿ) → 0 → …

На первый взгляд, разница между двумя конструкциями невелика -- факторкомплекс второго подкомплекса по первому есть двучленный стягиваемый комплекс. Однако, эта разница становится очень существенной, когда речь заходит не просто о комплексе, а о DG-алгебре A или DG-коалгебре C. Фильтрация подкомплексами первого типа (будем называть ее канонической фильтрацией) всегда согласована с умножением на DG-алгебре A, а фильтрация подкомплексами второго типа (будем называть ее коканонической фильтрацией) согласована с коумножением на DG-коалгебре C, но обычно не наоборот.

Это обстоятельство приходится принимать во внимание при построении фильтраций на DG-коалгебрах, необходимых для доказательства следующего результата (являющегося DG-коалгебрной версией теорем об эквивалентности свойств ацикличности и ко/контраацикличности для ограниченных с подходящих сторон комплексов из разделов 3.4 и 4.3 мемуара Two kinds of derived categories ...)

Теорема. Пусть C и D -- две неотрицательно когомологически градуированные DG-коалгебры, максимальные кополупростые подкоалгебры которых содержатся в ядрах дифференциалов d⁰. Тогда всякий комультипликативный квазиизоморфизм DG-коалгебр C → D является их слабой эквивалентностью (в смысле предыдущего постинга).

Доказательство: введем на DG-коалгебрах C и D коканоническую фильтрацию, т.е., F₀C = (C⁰ → d(C⁰)), F₁C = (C⁰ → C¹ → d(C¹)), и т.д., и аналогично для D. Тогда конуса морфизмов F_nC/F_n−1C → F_nD/F_n−1D являются трехчленными ацикличными DG-комодулями над неотрицательно когомологически градуированной DG-коалгеброй F₀D, и следовательно, согласно теореме 4.3.1 из мемуара Two kinds ..., коацикличными (и даже, на самом деле, абсолютно ацикличными) DG-комодулями над F₀D. Ввиду теоремы из предыдущего постинга, остается показать, что морфизм DG-коалгебр F₀C → F₀D является слабой эквивалентностью.

Заметим, что из предположения теоремы следует, что морфизм градуированных коалгебр C → D отождествляет их максимальные кополупростые подкоалгебры. Введем на градуировочных компонентах C⁰ и D⁰ DG-коалгебр C и D корадикальные фильтрации, т.е., фильтрации подпространствами N_nC⁰ и N_nD⁰ элементов, аннулируемых отображениями итерированного коумножения, принимающими значения в (n+1)-х тензорных степенях факторкоалгебр (без коединицы) коалгебр C⁰ и D⁰ по их максимальным кополупростым подкоалгебрам. Продолжим фильтрации N на DG-коалгебры F₀C и F₀D по правилу N_nd(C⁰) = d(N_nC⁰) и аналогично для F₀D. Тогда DG-подкоалгебры N₀F₀C ⊂ F₀C и N₀F₀D ⊂ F₀D суть в точности максимальные кополупростые подкоалгебры в C⁰ и D⁰.

Факторкомпоненты фильтрации N_nF₀C/N_n−1F₀C и N_nF₀D/N_n−1F₀D cуть стягиваемые двучленные комплексы комодулей над полупростой коалгеброй C^0ss = D^0ss. Согласно теореме из предыдущего постинга, морфизм DG-коалгебр F₀C → F₀D является слабой эквивалентностью. Таким образом, теорема доказана.