![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicНа самом деле, даже и общности, развитой в предыдущем постинге, недостаточно для целей чаемого приложения к некоммутативной теории гомотопий. Похоже, что можно доказать следующее далеко идущее обобщение теоремы из предыдущего постинга.
Будем называть морфизм CDG-коалгебр над полем слабой эквивалентностью, если связанный с ним функтор коограничения скаляров является эквивалентностью копроизводных категорий CDG-комодулей, или, что все равно, правый производный функтор корасширения скаляров является эквивалентностью копроизводных категорий CDG-комодулей, или левый производный функтор контрарасширения скаляров является эквивалентностью контрапроизводных категорий CDG-контрамодулей, или функтор контраограничения скаляров является эквивалентностью контрапроизводных категорий CDG-контрамодулей.
Теорема. Пусть CDG-коалгебры C и D снабжены исчерпывающими возрастающими фильтрациями F, согласованными с коумножениями и дифференциалами, и пусть морфизм CDG-коалгебр f: C → D согласован с фильтрациями. Предположим, что для всех n ≥ 1 конус индуцированного морфизма присоединенных факторкомпонент FnC/Fn−1C → FnD/Fn−1D является коацикличным CDG-бикомодулем над F0D. Тогда если ограничение морфизма f на нулевые компоненты фильтрации F0C → F0D является слабой эквивалентностью CDG-коалгебр, то таковой же является и сам морфизм f: C → D.
Доказательство: функторы коограничения скаляров, действующие между копроизводными категориями CDG-комодулей над F0C, F0D, C и D образуют коммутативный квадрат; то же касается и функторов коограничения скаляров, действующих между абсолютными производными категориями конечномерных CDG-комодулей над этими четырьмя CDG-коалгебрами. Далее, функтор коограничения скаляров, действующий между абсолютными производными категориями конечномерных CDG-комодулей над F0C и F0D, индуцирует эквивалентность их идемпотентных пополнений, поскольку это категории компактных объектов в копроизводных категориях CDG-комодулей над F0C и F0D, функтор ограничения скаляров между которыми является эквивалентностью по предположению теоремы.
Поскольку всякий конечномерный CDG-комодуль над CDG-коалгеброй D допускает конечную фильтрацию CDG-подкомодулями с присоединенными факторами -- CDG-комодулями над F0D, и аналогично для CDG-коалгебры C, образы конечномерных CDG-комодулей над F0C составляют множество компактных образующих как в копроизводной категории CDG-комодулей над C, так и в копроизводной категории CDG-комодулей над D. Поэтому остается показать, что функтор коограничения скаляров Dco(C-comod) → Dco(D-comod) индуцирует изоморфизмы пространств Hom в копроизводных категориях CDG-комодулей над C и D между конечномерными CDG-комодулями над F0C.
С любой конечной последовательностью (правый CDG-комодуль, CDG-коалгебра, CDG-бикомодуль, CDG-коалгебра, CDG-бикомодуль, ..., CDG-бикомодуль, CDG-коалгебра, левый CDG-комодуль), где "CDG-комодуль" или "CDG-бикомодуль" является CDG-(би)комодулем над CDG-коалгеброй или CDG-коалгебрами, рядом с которой или между которыми он стоит, можно связать следующий кобар-комплекс. Как когомологически градуированное векторное пространство, он является прямой суммой тензорных произведений CDG-(би)комодулей и CDG-коалгебр последовательности в том порядке, в котором они в ней стоят, причем всякий CDG-(би)комодуль входит ровно один раз, а CDG-коалгебра входит любое целое неотрицательное число раз. Дифференциал в комплексе является суммой дифференциала, индуцированного дифференциалами на CDG-(би)комодулях и CDG-коалгебрах, и дифференциала, индуцированного (би)кодействиями на CDG-бикомодулях и коумножениями на CDG-коалгебрах.
Ввиду соображений, изложенных в предыдущем постинге, для доказательства теоремы достаточно показать следующее. Пусть имеется морфизм между двумя цепочками CDG-(би)комодулей и CDG-коалгебр (одинаковой длины) как выше. Тогда если каждый входящий в этот морфизм цепочек морфизм CDG-(би)комодулей имеет коацикличный (как CDG-(би)комодуль над соотвествующей CDG-коалгеброй или парой CDG-коалгебр из второй цеочки) конус, а каждый входящий морфизм CDG-коалгебр является слабой эквивалентностью, то индуцированный морфизм кобар-комплексов -- квазиизоморфизм.
В самом деле, начнем с первой цепочки и будем заменять в ней сначала CDG-коалгебры, а потом и CDG-(би)комодули на соответствующие CDG-коалгебры и CDG-(би)комодули из второй цепочки, по одной штуке за раз. Таким образом, мы сведем вопрос к ситуации, когда две цепочки отличаются только в одной CDG-коалгебре или только в одном CDG-(би)комодуле. Во втором случае, сразу ясно, что если конус соответствующего морфизма CDG-(би)комодулей коацикличен, то коацикличен и конус морфизма между кобар-комплексами. В первом случае, нужно рассмотреть возрастающую фильтрацию на кобар-комплексах по числу тензорных сомножителей, принадлежащий заменяемой CDG-коалгебре.
Главной частью дифференциала на кобар-комплексах по отношению к этой фильтрации останется сумма трех слагаемых, связанных с заменяемой CDG-коалгеброй и ее кодействием на окружающих ее CDG-(би)комодулях. Вопрос о том, является ли индуцированный морфизм кобар-комплексов цепочек CDG-коалгебр и CDG-(би)комодулей квазиизоморфизмом сведется, таким образом, к случаю двух цепочек, каждая из которых из только одной заменяемой CDG-коалгебры и двух CDG-комодулей по краям от нее, правого и левого (одинаковых в двух цепочках). Далее, можно профильтровать CDG-комодули по краям их конечномерными подкомодулями, сводя вопрос к случаю, когда эти CDG-комодули конечномерны. Тогда искомый квазиизоморфизм становится одной из формулировок свойства слабой эквивалентности морфизма CDG-коалгебр.
Теорема доказана.
Upd.: Ср. со старым постингом http://posic.livejournal.com/915115.html
Будем называть морфизм CDG-коалгебр над полем слабой эквивалентностью, если связанный с ним функтор коограничения скаляров является эквивалентностью копроизводных категорий CDG-комодулей, или, что все равно, правый производный функтор корасширения скаляров является эквивалентностью копроизводных категорий CDG-комодулей, или левый производный функтор контрарасширения скаляров является эквивалентностью контрапроизводных категорий CDG-контрамодулей, или функтор контраограничения скаляров является эквивалентностью контрапроизводных категорий CDG-контрамодулей.
Теорема. Пусть CDG-коалгебры C и D снабжены исчерпывающими возрастающими фильтрациями F, согласованными с коумножениями и дифференциалами, и пусть морфизм CDG-коалгебр f: C → D согласован с фильтрациями. Предположим, что для всех n ≥ 1 конус индуцированного морфизма присоединенных факторкомпонент FnC/Fn−1C → FnD/Fn−1D является коацикличным CDG-бикомодулем над F0D. Тогда если ограничение морфизма f на нулевые компоненты фильтрации F0C → F0D является слабой эквивалентностью CDG-коалгебр, то таковой же является и сам морфизм f: C → D.
Доказательство: функторы коограничения скаляров, действующие между копроизводными категориями CDG-комодулей над F0C, F0D, C и D образуют коммутативный квадрат; то же касается и функторов коограничения скаляров, действующих между абсолютными производными категориями конечномерных CDG-комодулей над этими четырьмя CDG-коалгебрами. Далее, функтор коограничения скаляров, действующий между абсолютными производными категориями конечномерных CDG-комодулей над F0C и F0D, индуцирует эквивалентность их идемпотентных пополнений, поскольку это категории компактных объектов в копроизводных категориях CDG-комодулей над F0C и F0D, функтор ограничения скаляров между которыми является эквивалентностью по предположению теоремы.
Поскольку всякий конечномерный CDG-комодуль над CDG-коалгеброй D допускает конечную фильтрацию CDG-подкомодулями с присоединенными факторами -- CDG-комодулями над F0D, и аналогично для CDG-коалгебры C, образы конечномерных CDG-комодулей над F0C составляют множество компактных образующих как в копроизводной категории CDG-комодулей над C, так и в копроизводной категории CDG-комодулей над D. Поэтому остается показать, что функтор коограничения скаляров Dco(C-comod) → Dco(D-comod) индуцирует изоморфизмы пространств Hom в копроизводных категориях CDG-комодулей над C и D между конечномерными CDG-комодулями над F0C.
С любой конечной последовательностью (правый CDG-комодуль, CDG-коалгебра, CDG-бикомодуль, CDG-коалгебра, CDG-бикомодуль, ..., CDG-бикомодуль, CDG-коалгебра, левый CDG-комодуль), где "CDG-комодуль" или "CDG-бикомодуль" является CDG-(би)комодулем над CDG-коалгеброй или CDG-коалгебрами, рядом с которой или между которыми он стоит, можно связать следующий кобар-комплекс. Как когомологически градуированное векторное пространство, он является прямой суммой тензорных произведений CDG-(би)комодулей и CDG-коалгебр последовательности в том порядке, в котором они в ней стоят, причем всякий CDG-(би)комодуль входит ровно один раз, а CDG-коалгебра входит любое целое неотрицательное число раз. Дифференциал в комплексе является суммой дифференциала, индуцированного дифференциалами на CDG-(би)комодулях и CDG-коалгебрах, и дифференциала, индуцированного (би)кодействиями на CDG-бикомодулях и коумножениями на CDG-коалгебрах.
Ввиду соображений, изложенных в предыдущем постинге, для доказательства теоремы достаточно показать следующее. Пусть имеется морфизм между двумя цепочками CDG-(би)комодулей и CDG-коалгебр (одинаковой длины) как выше. Тогда если каждый входящий в этот морфизм цепочек морфизм CDG-(би)комодулей имеет коацикличный (как CDG-(би)комодуль над соотвествующей CDG-коалгеброй или парой CDG-коалгебр из второй цеочки) конус, а каждый входящий морфизм CDG-коалгебр является слабой эквивалентностью, то индуцированный морфизм кобар-комплексов -- квазиизоморфизм.
В самом деле, начнем с первой цепочки и будем заменять в ней сначала CDG-коалгебры, а потом и CDG-(би)комодули на соответствующие CDG-коалгебры и CDG-(би)комодули из второй цепочки, по одной штуке за раз. Таким образом, мы сведем вопрос к ситуации, когда две цепочки отличаются только в одной CDG-коалгебре или только в одном CDG-(би)комодуле. Во втором случае, сразу ясно, что если конус соответствующего морфизма CDG-(би)комодулей коацикличен, то коацикличен и конус морфизма между кобар-комплексами. В первом случае, нужно рассмотреть возрастающую фильтрацию на кобар-комплексах по числу тензорных сомножителей, принадлежащий заменяемой CDG-коалгебре.
Главной частью дифференциала на кобар-комплексах по отношению к этой фильтрации останется сумма трех слагаемых, связанных с заменяемой CDG-коалгеброй и ее кодействием на окружающих ее CDG-(би)комодулях. Вопрос о том, является ли индуцированный морфизм кобар-комплексов цепочек CDG-коалгебр и CDG-(би)комодулей квазиизоморфизмом сведется, таким образом, к случаю двух цепочек, каждая из которых из только одной заменяемой CDG-коалгебры и двух CDG-комодулей по краям от нее, правого и левого (одинаковых в двух цепочках). Далее, можно профильтровать CDG-комодули по краям их конечномерными подкомодулями, сводя вопрос к случаю, когда эти CDG-комодули конечномерны. Тогда искомый квазиизоморфизм становится одной из формулировок свойства слабой эквивалентности морфизма CDG-коалгебр.
Теорема доказана.
Upd.: Ср. со старым постингом http://posic.livejournal.com/915115.html
