![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПри написании раздела 4.8 мемуара Two kinds of derived categories ... я держал в голове менее естественное рассуждение, доказывающее более общее утверждение, но почему-то не вставил его в текст даже в виде замечания. Что, вообще говоря, для меня не характерно (обычно я не скуплюсь ни на замечания, ни на альтернативные доказательства); но тут почему-то испугался. Теперь расхлебывать.
Пусть CDG-коалгебра C = (C,d,h) снабжена комультипликативной возрастающей фильтрацией F, сохраняемой дифференциалом. Тогда присоединенная градуированная коалгебра grFC имеет тоже структуру CDG-коалгебры с линейной функцией кривизны, получаемой ограничением h на F0C; в частности, F0C является CDG-коалгеброй, которую можно рассматривать как CDG-подкоалгебру одновременно в C и grFC, или как CDG-факторкоалгебру grFC. В частности, компоненты FnC/Fn−1C присоединенной градуированной факторкоалгебры grFC являются CDG-бикомодулями над F0C.
Пусть теперь f: C → D -- морфизм CDG-коалгебр, снабженных фильтрациями F как выше, согласованный с этими фильтрациями; предположим дополнительно, что отображение F0C → F0D -- изоморфизм CDG-коалгебр.
Теорема. Допустим, что конус морфизма grFC → grFD является коацикличным CDG-бикомодулем над F0C = F0D. Тогда функторы ко- и контраограничения скаляров Dco(C-comod) → Dco(D-comod) и Dctr(C-contra) → Dctr(D-contra) -- эквивалентности триангулированных категорий.
В теореме 4.8 мемуара "Two kinds ..." эти утверждения доказываются в присутствии дополнительных требований инъективности левых или правых градуированых модулей grFC и grFD над F0C = F0D, каковые требования являются излишними.
Доказательство теоремы: функторы ко- и контраограничения скаляров между ко- и контрапроизводными категориями CDG-ко- и контрамодулей являются эквивалентностями тогда и только тогда, когда таковыми являются сопряженные к ним функторы ко- и контрарасширения скаляров. Последние же два функтора переводятся друг в друга ко-контра соответствием (раздел 5.4 мемуара "Two kinds ...") Поэтому достаточно доказать утверждение про копроизводные категории CDG-комодулей.
Далее, всякий неприводимый CDG-комодуль над C или D является CDG-комодулем над F0C = F0D (см. обсуждение неприводимых CDG-комодулей в разделе 5.5 того же мемуара). В частности, всякий неприводимый CDG-комодуль над D приходит из неприводимого CDG-комодуля над C. Поскольку неприводимые CDG-комодули являются компактными образующими копроизводной категории, достаточно показать, что функтор коограничения скаляров индуцирует изоморфизмы пространств Hom в копроизводной категории между неприводимыми CDG-комодулями.
Морфизмы в копроизводных категориях CDG-комодулей над C и D между двумя конечномерными CDG-комодулями над grFC или grFD мы будем вычислять с помощью кобар-резольвент второго аргумента. Фильтрации F на CDG-коалгебрах C и D индуцируют фильтрации на кобар-комплексах, вычисляющих интересующие нас пространства Hom. Присоединенные факторкомплексы к этим фильтрациям суть комплексы, вычисляющие пространства Hom в копроизводных категориях CDG-комодулей над градуированными CDG-коалгебрами grFC и grFD.
Градуировочная компонента градуировки n такого присоединенного факторкомплекса представляет собой прямую сумму тензорных произведений градуировочных компонент градуированной CDG-коалгебры grFC или grFD суммарной градуировки n, помноженную тензорно на второй аргумент функтора Hom и на пространство, двойственное к первому аргументу. Профильтровав эту градуировочную компоненту по числу входящих в нее тензорных сомножителей, представляющих собой градуировочные компоненты grFC или grFD градуировки, большей нуля, можно получить ее с помощью конечной итерации операций конуса и сдвига из комплексов, представляющих собой прямую сумму тензорных произведений каких-то фиксированных компонент положительной градуировки в градуированных CDG-коалгебрах grFC или grFD и произвольного числа расставленных между ними и по краям тензорных сомножителей grFC или grFD. Такая бесконечная прямая сумма снабжается кобар дифференциалом, отражающим структуры CDG-бикомодулей над F0C = F0D на градуировочных компонентах CDG-коалгебры grFC и grFD, а также структуры CDG-модулей над F0C = F0D на двух аргументах функтора Hom.
Теперь уже нетрудно заметить, что если конуса морфизмов между градуировочными компонентами CDG-коалгебр grFC и grFD являются коацикличными CDG-бикомодулями над F0C = F0D, то морфизм между двумя комплексами вышеописанного типа, связанными с градуированными CDG-коалгебрами grFC и grFD, является квазиизоморфизмом.
Пусть CDG-коалгебра C = (C,d,h) снабжена комультипликативной возрастающей фильтрацией F, сохраняемой дифференциалом. Тогда присоединенная градуированная коалгебра grFC имеет тоже структуру CDG-коалгебры с линейной функцией кривизны, получаемой ограничением h на F0C; в частности, F0C является CDG-коалгеброй, которую можно рассматривать как CDG-подкоалгебру одновременно в C и grFC, или как CDG-факторкоалгебру grFC. В частности, компоненты FnC/Fn−1C присоединенной градуированной факторкоалгебры grFC являются CDG-бикомодулями над F0C.
Пусть теперь f: C → D -- морфизм CDG-коалгебр, снабженных фильтрациями F как выше, согласованный с этими фильтрациями; предположим дополнительно, что отображение F0C → F0D -- изоморфизм CDG-коалгебр.
Теорема. Допустим, что конус морфизма grFC → grFD является коацикличным CDG-бикомодулем над F0C = F0D. Тогда функторы ко- и контраограничения скаляров Dco(C-comod) → Dco(D-comod) и Dctr(C-contra) → Dctr(D-contra) -- эквивалентности триангулированных категорий.
В теореме 4.8 мемуара "Two kinds ..." эти утверждения доказываются в присутствии дополнительных требований инъективности левых или правых градуированых модулей grFC и grFD над F0C = F0D, каковые требования являются излишними.
Доказательство теоремы: функторы ко- и контраограничения скаляров между ко- и контрапроизводными категориями CDG-ко- и контрамодулей являются эквивалентностями тогда и только тогда, когда таковыми являются сопряженные к ним функторы ко- и контрарасширения скаляров. Последние же два функтора переводятся друг в друга ко-контра соответствием (раздел 5.4 мемуара "Two kinds ...") Поэтому достаточно доказать утверждение про копроизводные категории CDG-комодулей.
Далее, всякий неприводимый CDG-комодуль над C или D является CDG-комодулем над F0C = F0D (см. обсуждение неприводимых CDG-комодулей в разделе 5.5 того же мемуара). В частности, всякий неприводимый CDG-комодуль над D приходит из неприводимого CDG-комодуля над C. Поскольку неприводимые CDG-комодули являются компактными образующими копроизводной категории, достаточно показать, что функтор коограничения скаляров индуцирует изоморфизмы пространств Hom в копроизводной категории между неприводимыми CDG-комодулями.
Морфизмы в копроизводных категориях CDG-комодулей над C и D между двумя конечномерными CDG-комодулями над grFC или grFD мы будем вычислять с помощью кобар-резольвент второго аргумента. Фильтрации F на CDG-коалгебрах C и D индуцируют фильтрации на кобар-комплексах, вычисляющих интересующие нас пространства Hom. Присоединенные факторкомплексы к этим фильтрациям суть комплексы, вычисляющие пространства Hom в копроизводных категориях CDG-комодулей над градуированными CDG-коалгебрами grFC и grFD.
Градуировочная компонента градуировки n такого присоединенного факторкомплекса представляет собой прямую сумму тензорных произведений градуировочных компонент градуированной CDG-коалгебры grFC или grFD суммарной градуировки n, помноженную тензорно на второй аргумент функтора Hom и на пространство, двойственное к первому аргументу. Профильтровав эту градуировочную компоненту по числу входящих в нее тензорных сомножителей, представляющих собой градуировочные компоненты grFC или grFD градуировки, большей нуля, можно получить ее с помощью конечной итерации операций конуса и сдвига из комплексов, представляющих собой прямую сумму тензорных произведений каких-то фиксированных компонент положительной градуировки в градуированных CDG-коалгебрах grFC или grFD и произвольного числа расставленных между ними и по краям тензорных сомножителей grFC или grFD. Такая бесконечная прямая сумма снабжается кобар дифференциалом, отражающим структуры CDG-бикомодулей над F0C = F0D на градуировочных компонентах CDG-коалгебры grFC и grFD, а также структуры CDG-модулей над F0C = F0D на двух аргументах функтора Hom.
Теперь уже нетрудно заметить, что если конуса морфизмов между градуировочными компонентами CDG-коалгебр grFC и grFD являются коацикличными CDG-бикомодулями над F0C = F0D, то морфизм между двумя комплексами вышеописанного типа, связанными с градуированными CDG-коалгебрами grFC и grFD, является квазиизоморфизмом.
