Mar. 7th, 2015

про проект текста по относительной неоднородной кошулевой двойственности]

Думается мне, что релевантный вопрос здесь -- для кого был бы написан такой текст. Наверное, следует признать, что адекватных ответов бывает два: 1. для себя и 2. для студентов.

Например, в случае с задумкой текста про относительную неоднородную двойственность получается -- 1. я это все давно уже знаю, 2. не видно, чтобы студентам это было сейчас в тему, а если вдруг да, то не видно, почему бы такому студенту не написать это самому.

В конце концов, мои вычисления дуализации уравнений самосогласованности неоднородных квадратничных соотношений над базовым кольцом восходят, насколько помнится, к 92-му году. При этом уже тогда до всяких вычислений было ясно, что там должно получиться -- ввиду комбинации а) вычисления над полем из статьи в FAA-93 + б) примера с дифференциальными операторами и комплексом де Рама.

А теперь этот сюжет покрывается соответствующими разделами полубесконечной книжки. И если главу 11 читать действительно должно быть очень трудно, то уж по крайней мере раздел 0.4 мог бы быть вполне доступен. 6-я глава мемуара "Two kinds of derived categories ..." тоже не кажется мне такой уж неприступной. Никаких проявлений того, чтобы студенты этим интересовались я, однако, не наблюдаю. А пуще того -- не видно, почему именно сейчас я хотел бы их этим заинтересовать.

Скажем, про контрамодули и полуконтрамодули (как бы по мотивам раздела 0.3 той же вводной главы полубесконечного трактата -- в той же мере, как мемуар "Two kinds ..." написан по мотивам раздела 0.2) я пишу сейчас по двум причинам. Во-первых, потому что вижу ряд условно-молодежных работ по контрапроизводным категориям/модельным структурам на категориях модулей, мыслящимся прежде всего в связи с гомотопическими категориями комплексов проективных модулей. Вот и пускай имеют в виду, что достаточно проективных объектов бывает в категориях контрамодулей, а не только модулей.

Во-вторых, популяризация контрамодулей повышает доступность моих собственных недавних исследовательских текстов и замышляемых в перспективе проектов, прежде всего про контрагерентные копучки.

В чем современная актуальность старинного сюжета про относительную неоднородную двойственность, чтобы заниматься сейчас его популяризацией -- не очень понятно. Актуальным, наверное, является сюжет про MGM-двойственность (ср. http://posic.livejournal.com/1163053.html ); надо только придать ему законченную форму.

P.S. Вообще мне, скорее, надоело ассоциироваться с кошулевой двойственностью, особенно когда ассоциация эта имеет стандартную форму вопросов типа "нет ли среди ваших многочисленных кошулевых/модельных ко/контра/... теорий такой, чтобы ... ?" Непонятно, зачем укреплять психологический образ неприступной кучи-малы "моих теорий" в нетвердых сознаниях несчастных пользователей. Лучше уж расширять список названий классических сюжетов, этими теориями покрываемых, что ли.
Развитие августовского постинга http://posic.livejournal.com/1096155.html ; см. также февральский http://posic.livejournal.com/1163356.html и далее по ссылкам.

Пусть R -- нетерово коммутативное кольцо, I -- идеал в нем.

Лемма 1. Точный слева функтор, сопоставляющий всякому R-модулю M его максимальный подмодуль I-кручения (т.е., подмодуль всех элементов, аннулируемых идеалами In для каких-то натуральных n) имеет конечную гомологическую размерность, не превышающую минимального числа образующих идеала I.

Доказательство. Пусть sj, j=1, ..., m -- какое-то множество образующих идеала I. Сопоставим каждому R-модулю M комплекс Чеха C(M) следующего вида

M → ⊕j M[sj−1] → ⊕j' < j'' M[sj'−1, sj''−1] → … → M[s1−1, ..., sm−1].

Заметим, что для любого R-модуля M нулевые когомологии H0C(M) изоморфны подмодулю элементов I-кручения в M. Далее, члены комплекса C(M) зависят как точные функторы от R-модуля M. Наконец, для любого инъективного R-модуля J комплекс C(J) не имеет когомологий в степенях выше нуля, что нетрудно посчитать, используя классификацию инъективных модулей над нетеровым кольцом R как прямых сумм по простым идеалам p кольца R инъективных оболочек полей вычетов k(p) в категории R-модулей.

Теперь пусть M -- произвольный R-модуль и J -- его инъективная резольвента; тогда тотальный комплекс бикомплекса C(J) квазиизоморфен одновременно комплексу C(M), поскольку C -- точный функтор и J -- резольвента M, и комплексу максимальных подмодулей I-кручения в комплексе J, поскольку J -- комплекс инъективных R-модулей. Таким образом, комплекс максимальных подмодулей I-кручения в J не имеет когомологий в степенях выше длины комплекса C, что и требовалось доказать.

Ср. Porta-Shaul-Yekutieli, "On the homology of completion and torsion", Theorem 4.24, Corollary 4.28, Theorem 4.34.

Следствие 1. Пусть R-mod обозначает абелеву категорию R-модулей и R-modI-tors -- абелеву категорию R-модулей I-кручения. Тогда для любого символа * = b, +, −, ∅, abs+, abs−, co, или abs, триангулированный функтор D*(R-modI-tors) → D*(R-mod), индуцированный функтором вложения абелевых категорий R-modI-tors → R-mod, является вполне строгим.

Доказательство: в случае производных категорий с символами * = b или +, утверждение следует из известного факта, что функтор R-modI-tors → R-mod сохраняет инъективность объектов (который факт, в свою очередь, следует из леммы Артина-Риса). В общем случае лемма 1 выше, по существу, утверждает, что вопрос "имеет конечную гомологическую размерность" и в силу этого "сводится к конечным комплексам". Формальное доказательство проводится следующим образом.

Рассмотрим в R-mod полную подкатегорию R-modI-tors-adj, состоящую из всех объектов M, на которых зануляются высшие производные функторы функтора максимального подмодуля I-кручения (т.е., Hi(C(M)) = 0 для i>0). Полная подкатегория R-modI-tors-adj ⊂ R-mod замкнута относительно расширений, коядер вложений, и бесконечных прямых сумм; и всякий R-модуль допускает конечную правую резольвенту равномерно ограниченной длины, составленную из объектов R-modI-tors-adj. Таким образом, для любого символа * из нашего списка естественный функтор D*(R-modI-tors-adj) → D*(R-mod) является эквивалентностью триангулированных категорий.

Используя комплексы объектов из R-modI-tors-adj в качестве резольвент, можно, таким образом, построить правый производный функтор функтора максимального подмодуля I-кручения, действующий из категории D*(R-mod) в категорию D*(R-modI-tors). Как и всякий производный функтор в смысле Делиня, этот функтор сопряжен справа к интересующему нас функтору D*(R-modI-tors) → D*(R-mod), поскольку точный слева функтор максимального подмодуля I-кручения сопряжен справа к функтору вложения абелевых категорий.

Далее, точная подкатегория R-modI-tors-adj содержит абелеву подкатегорию R-modI-tors ⊂ R-mod (достаточно посчитать производный функтор максимального подмодуля I-кручения для R-модуля I-кручения с помощью резольвенты, составленной из инъективных R-модулей I-кручения; альтернативным образом, можно заметить, что C(M) = M для всех M ∈ R-modI-tors -- ср. [PSY, Corollary 4.32]). Так что композиция сопряженных функторов D*(R-modI-tors) → D*(R-mod) → D*(R-modI-tors) изоморфна тождественному функтору. Желаемая полная строгость отсюда немедленно следует.

P.S. Фактически, мы показали, что функторы D*(R-modI-tors) → D*(R-mod) являются вполне строгими для любого "слабо прорегулярного" в смысле [PSY] конечно-порожденного идеала I в (не обязательно нетеровом) коммутативном кольце R.

September 2025

S M T W T F S
  1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 1213
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
282930    

Most Popular Tags

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Sep. 29th, 2025 09:15 am
Powered by Dreamwidth Studios