![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Продолжение постинга http://posic.livejournal.com/1167741.html
Абелева группа P с аддитивным оператором s: P → P называется s-контрамодулем, если для любой последовательности элементов p0, p1, p2, ... ∈ P существует единственная последовательность элементов q0, q1, q2, ... ∈ P, удовлетворяющая системе уравнений qn = sqn+1 + pn для всех n ≥ 0. Модуль P над кольцом R c выбранным элементом s ∈ R называется s-контрамодулем, если P является контрамодулем по отношению к оператору умножения на s.
Пусть R -- коммутативное кольцо, I -- идеал в R, и sj -- множество образующих идеала I ⊂ R. Тогда свойство R-модуля P быть контрамодулем по отношению ко всем элементам sj ∈ R не зависит от выбора набора образующих идеала I, а только от самого идеала. В самом деле, это утверждение достаточно проверять для подколец кольца R, конечно-порожденных над Z, а для нетеровых колец оно следует из основной теоремы приложения B к препринту "Weakly curved A-infinity algebras ..." R-модули, удовлетворяющие этому условию, мы будем называть I-контрамодулями. Полная подкатегория I-контрамодулей R-modI-contra ⊂ R-mod замкнута относительно ядер, коядер и бесконечных произведений в R-mod, и следовательно, является абелевой категорией (ср. раздел С.2 препринта "Contraherent cosheaves").
Лемма 2. Предположим, что идеал I ⊂ R конечно-порожден. Тогда функтор вложения R-modI-contra → R-mod имеет левый сопряженный функтор ΔI: R-mod → R-modI-contra.
Доказательство: мы предъявим явную конструкцию функтора ΔI. Рассмотрим сначала случай идеала I, порожденного одним элементом s. Сопоставим всякому R-модулю M морфизм R-модулей φM,s: ∏n≥1M → ∏n≥0M, переводящий каждую последовательность элементов r1, r2, ... ∈ M в последовательность элементов m0 = −sr1, m1 = r1 − sr2, ... Обозначим через Δs(M) коядро морфизма φM,s.
Покажем прежде всего, что R-модуль Δs(M) является s-контрамодулем. Утверждение зависит только от структуры Z[s]-модуля на M, так что можно считать, что R = Z[s]. Для любой абелевой группы A, рассмотрим Z[s]-модуль A[s] многочленов по s с коэффициентами из A. Нетрудно посчитать руками, что Δs(A[s]) = A[[s]]; изоморфизм устанавливается отображением, переводящим последовательность многочленов m0, m1, m2, ... в степенной ряд ∑n=0∞ snmn(s). Ясно, что всякий Z[s]-модуль является коядром морфизма модулей вида A[s], функтор Δs коммутирует с коядрами, и модули вида A[[s]] являются s-контрамодулями. Поскольку класс s-контрамодулей замкнут относительно коядер, утверждение доказано.
Теперь покажем, что для любого R-модуля P, являющегося s-контрамодулем, группа HomR(Δs(M),P) естественно изоморфна группе HomR(M,P). Естественное отображение M → Δs(M) для любого R-модуля M индуцировано вложением M → ∏n≥0M, отображащим каждый элемент m ∈ M в последовательность m0 = m, m1 = m2 = ... = 0. Для любого s-контрамодуля P, всякое R-линейное отображение f: M → P распространяется до R-линейного отображения g: Δs(M) → P по правилу g(m0,m1,m2,...) = ∑n=0∞ snf(mn), где операция бесконечного суммирования в s-контрамодулях строится, как объяснено в приложении B к "Weakly curved ..."
Осталось проверить, что существует только одно R-линейное отображение Δs(M) → P, композиция которого с естественным отображением M → Δs(M) равна фиксированному R-линейному отображению f: M → P. В самом деле, пусть m0, m1, m2, ... -- какая-то последовательность элементов M. Пусть h -- какое-то R-линейное отображение Δs(M) → P. Положим qn = h(mn,mn+1,mn+2,...) ∈ P для каждого n≥0. Отображение φM,s переводит последовательность элементов (r1,r2,...) = (mn+1,mn+2,...) в последовательность (0,mn+1,mn+2,...) − s(mn+1,mn+2,...), так что элементы qn и f(mn) ∈ P удовлетворяют системе уравнений qn − f(mn) = sqn+1. По определению s-контрамодуля, последовательность элементов qn однозначно определяется последовательностью элементов f(mn).
Обещанный функтор ΔI = Δs для идеала I, порожденного одним элементом s, построен. Чтобы получить функтор ΔI для идеала, порожденного любым конечным множеством элементов sj, заметим, что для любых элементов s и t ∈ R функтор Δs: R-mod → R-mods-contra ⊂ R-mod отображает полную подкатегорию R-modt-contra ⊂ R-mod в R-modt-contra, поскольку класс t-контрамодулей замкнут относительно коядер и бесконечных произведений. Отсюда ясно, что ограничение функтора Δs на полную подкатегорию R-modt-contra доставляет функтор R-modt-contra → R-mods,t-contra, сопряженный слева к вложению полной подкатегории R-mods,t-contra → R-modt-contra. Следовательно, композиция функторов Δsj по всем образующим sj идеала I является искомым функтором ΔI: R-mod → R-modI-contra, сопряженным слева к функтору вложения R-modI-contra → R-mod.
Абелева группа P с аддитивным оператором s: P → P называется s-контрамодулем, если для любой последовательности элементов p0, p1, p2, ... ∈ P существует единственная последовательность элементов q0, q1, q2, ... ∈ P, удовлетворяющая системе уравнений qn = sqn+1 + pn для всех n ≥ 0. Модуль P над кольцом R c выбранным элементом s ∈ R называется s-контрамодулем, если P является контрамодулем по отношению к оператору умножения на s.
Пусть R -- коммутативное кольцо, I -- идеал в R, и sj -- множество образующих идеала I ⊂ R. Тогда свойство R-модуля P быть контрамодулем по отношению ко всем элементам sj ∈ R не зависит от выбора набора образующих идеала I, а только от самого идеала. В самом деле, это утверждение достаточно проверять для подколец кольца R, конечно-порожденных над Z, а для нетеровых колец оно следует из основной теоремы приложения B к препринту "Weakly curved A-infinity algebras ..." R-модули, удовлетворяющие этому условию, мы будем называть I-контрамодулями. Полная подкатегория I-контрамодулей R-modI-contra ⊂ R-mod замкнута относительно ядер, коядер и бесконечных произведений в R-mod, и следовательно, является абелевой категорией (ср. раздел С.2 препринта "Contraherent cosheaves").
Лемма 2. Предположим, что идеал I ⊂ R конечно-порожден. Тогда функтор вложения R-modI-contra → R-mod имеет левый сопряженный функтор ΔI: R-mod → R-modI-contra.
Доказательство: мы предъявим явную конструкцию функтора ΔI. Рассмотрим сначала случай идеала I, порожденного одним элементом s. Сопоставим всякому R-модулю M морфизм R-модулей φM,s: ∏n≥1M → ∏n≥0M, переводящий каждую последовательность элементов r1, r2, ... ∈ M в последовательность элементов m0 = −sr1, m1 = r1 − sr2, ... Обозначим через Δs(M) коядро морфизма φM,s.
Покажем прежде всего, что R-модуль Δs(M) является s-контрамодулем. Утверждение зависит только от структуры Z[s]-модуля на M, так что можно считать, что R = Z[s]. Для любой абелевой группы A, рассмотрим Z[s]-модуль A[s] многочленов по s с коэффициентами из A. Нетрудно посчитать руками, что Δs(A[s]) = A[[s]]; изоморфизм устанавливается отображением, переводящим последовательность многочленов m0, m1, m2, ... в степенной ряд ∑n=0∞ snmn(s). Ясно, что всякий Z[s]-модуль является коядром морфизма модулей вида A[s], функтор Δs коммутирует с коядрами, и модули вида A[[s]] являются s-контрамодулями. Поскольку класс s-контрамодулей замкнут относительно коядер, утверждение доказано.
Теперь покажем, что для любого R-модуля P, являющегося s-контрамодулем, группа HomR(Δs(M),P) естественно изоморфна группе HomR(M,P). Естественное отображение M → Δs(M) для любого R-модуля M индуцировано вложением M → ∏n≥0M, отображащим каждый элемент m ∈ M в последовательность m0 = m, m1 = m2 = ... = 0. Для любого s-контрамодуля P, всякое R-линейное отображение f: M → P распространяется до R-линейного отображения g: Δs(M) → P по правилу g(m0,m1,m2,...) = ∑n=0∞ snf(mn), где операция бесконечного суммирования в s-контрамодулях строится, как объяснено в приложении B к "Weakly curved ..."
Осталось проверить, что существует только одно R-линейное отображение Δs(M) → P, композиция которого с естественным отображением M → Δs(M) равна фиксированному R-линейному отображению f: M → P. В самом деле, пусть m0, m1, m2, ... -- какая-то последовательность элементов M. Пусть h -- какое-то R-линейное отображение Δs(M) → P. Положим qn = h(mn,mn+1,mn+2,...) ∈ P для каждого n≥0. Отображение φM,s переводит последовательность элементов (r1,r2,...) = (mn+1,mn+2,...) в последовательность (0,mn+1,mn+2,...) − s(mn+1,mn+2,...), так что элементы qn и f(mn) ∈ P удовлетворяют системе уравнений qn − f(mn) = sqn+1. По определению s-контрамодуля, последовательность элементов qn однозначно определяется последовательностью элементов f(mn).
Обещанный функтор ΔI = Δs для идеала I, порожденного одним элементом s, построен. Чтобы получить функтор ΔI для идеала, порожденного любым конечным множеством элементов sj, заметим, что для любых элементов s и t ∈ R функтор Δs: R-mod → R-mods-contra ⊂ R-mod отображает полную подкатегорию R-modt-contra ⊂ R-mod в R-modt-contra, поскольку класс t-контрамодулей замкнут относительно коядер и бесконечных произведений. Отсюда ясно, что ограничение функтора Δs на полную подкатегорию R-modt-contra доставляет функтор R-modt-contra → R-mods,t-contra, сопряженный слева к вложению полной подкатегории R-mods,t-contra → R-modt-contra. Следовательно, композиция функторов Δsj по всем образующим sj идеала I является искомым функтором ΔI: R-mod → R-modI-contra, сопряженным слева к функтору вложения R-modI-contra → R-mod.
