Разрозненные заметки по MGM-двойственности
Mar. 7th, 2015 09:50 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicРазвитие августовского постинга http://posic.livejournal.com/1096155.html ; см. также февральский http://posic.livejournal.com/1163356.html и далее по ссылкам.
Пусть R -- нетерово коммутативное кольцо, I -- идеал в нем.
Лемма 1. Точный слева функтор, сопоставляющий всякому R-модулю M его максимальный подмодуль I-кручения (т.е., подмодуль всех элементов, аннулируемых идеалами In для каких-то натуральных n) имеет конечную гомологическую размерность, не превышающую минимального числа образующих идеала I.
Доказательство. Пусть sj, j=1, ..., m -- какое-то множество образующих идеала I. Сопоставим каждому R-модулю M комплекс Чеха C(M) следующего вида
M → ⊕j M[sj−1] → ⊕j' < j'' M[sj'−1, sj''−1] → … → M[s1−1, ..., sm−1].
Заметим, что для любого R-модуля M нулевые когомологии H0C(M) изоморфны подмодулю элементов I-кручения в M. Далее, члены комплекса C(M) зависят как точные функторы от R-модуля M. Наконец, для любого инъективного R-модуля J комплекс C(J) не имеет когомологий в степенях выше нуля, что нетрудно посчитать, используя классификацию инъективных модулей над нетеровым кольцом R как прямых сумм по простым идеалам p кольца R инъективных оболочек полей вычетов k(p) в категории R-модулей.
Теперь пусть M -- произвольный R-модуль и J -- его инъективная резольвента; тогда тотальный комплекс бикомплекса C(J) квазиизоморфен одновременно комплексу C(M), поскольку C -- точный функтор и J -- резольвента M, и комплексу максимальных подмодулей I-кручения в комплексе J, поскольку J -- комплекс инъективных R-модулей. Таким образом, комплекс максимальных подмодулей I-кручения в J не имеет когомологий в степенях выше длины комплекса C, что и требовалось доказать.
Ср. Porta-Shaul-Yekutieli, "On the homology of completion and torsion", Theorem 4.24, Corollary 4.28, Theorem 4.34.
Следствие 1. Пусть R-mod обозначает абелеву категорию R-модулей и R-modI-tors -- абелеву категорию R-модулей I-кручения. Тогда для любого символа * = b, +, −, ∅, abs+, abs−, co, или abs, триангулированный функтор D*(R-modI-tors) → D*(R-mod), индуцированный функтором вложения абелевых категорий R-modI-tors → R-mod, является вполне строгим.
Доказательство: в случае производных категорий с символами * = b или +, утверждение следует из известного факта, что функтор R-modI-tors → R-mod сохраняет инъективность объектов (который факт, в свою очередь, следует из леммы Артина-Риса). В общем случае лемма 1 выше, по существу, утверждает, что вопрос "имеет конечную гомологическую размерность" и в силу этого "сводится к конечным комплексам". Формальное доказательство проводится следующим образом.
Рассмотрим в R-mod полную подкатегорию R-modI-tors-adj, состоящую из всех объектов M, на которых зануляются высшие производные функторы функтора максимального подмодуля I-кручения (т.е., Hi(C(M)) = 0 для i>0). Полная подкатегория R-modI-tors-adj ⊂ R-mod замкнута относительно расширений, коядер вложений, и бесконечных прямых сумм; и всякий R-модуль допускает конечную правую резольвенту равномерно ограниченной длины, составленную из объектов R-modI-tors-adj. Таким образом, для любого символа * из нашего списка естественный функтор D*(R-modI-tors-adj) → D*(R-mod) является эквивалентностью триангулированных категорий.
Используя комплексы объектов из R-modI-tors-adj в качестве резольвент, можно, таким образом, построить правый производный функтор функтора максимального подмодуля I-кручения, действующий из категории D*(R-mod) в категорию D*(R-modI-tors). Как и всякий производный функтор в смысле Делиня, этот функтор сопряжен справа к интересующему нас функтору D*(R-modI-tors) → D*(R-mod), поскольку точный слева функтор максимального подмодуля I-кручения сопряжен справа к функтору вложения абелевых категорий.
Далее, точная подкатегория R-modI-tors-adj содержит абелеву подкатегорию R-modI-tors ⊂ R-mod (достаточно посчитать производный функтор максимального подмодуля I-кручения для R-модуля I-кручения с помощью резольвенты, составленной из инъективных R-модулей I-кручения; альтернативным образом, можно заметить, что C(M) = M для всех M ∈ R-modI-tors -- ср. [PSY, Corollary 4.32]). Так что композиция сопряженных функторов D*(R-modI-tors) → D*(R-mod) → D*(R-modI-tors) изоморфна тождественному функтору. Желаемая полная строгость отсюда немедленно следует.
P.S. Фактически, мы показали, что функторы D*(R-modI-tors) → D*(R-mod) являются вполне строгими для любого "слабо прорегулярного" в смысле [PSY] конечно-порожденного идеала I в (не обязательно нетеровом) коммутативном кольце R.
Пусть R -- нетерово коммутативное кольцо, I -- идеал в нем.
Лемма 1. Точный слева функтор, сопоставляющий всякому R-модулю M его максимальный подмодуль I-кручения (т.е., подмодуль всех элементов, аннулируемых идеалами In для каких-то натуральных n) имеет конечную гомологическую размерность, не превышающую минимального числа образующих идеала I.
Доказательство. Пусть sj, j=1, ..., m -- какое-то множество образующих идеала I. Сопоставим каждому R-модулю M комплекс Чеха C(M) следующего вида
M → ⊕j M[sj−1] → ⊕j' < j'' M[sj'−1, sj''−1] → … → M[s1−1, ..., sm−1].
Заметим, что для любого R-модуля M нулевые когомологии H0C(M) изоморфны подмодулю элементов I-кручения в M. Далее, члены комплекса C(M) зависят как точные функторы от R-модуля M. Наконец, для любого инъективного R-модуля J комплекс C(J) не имеет когомологий в степенях выше нуля, что нетрудно посчитать, используя классификацию инъективных модулей над нетеровым кольцом R как прямых сумм по простым идеалам p кольца R инъективных оболочек полей вычетов k(p) в категории R-модулей.
Теперь пусть M -- произвольный R-модуль и J -- его инъективная резольвента; тогда тотальный комплекс бикомплекса C(J) квазиизоморфен одновременно комплексу C(M), поскольку C -- точный функтор и J -- резольвента M, и комплексу максимальных подмодулей I-кручения в комплексе J, поскольку J -- комплекс инъективных R-модулей. Таким образом, комплекс максимальных подмодулей I-кручения в J не имеет когомологий в степенях выше длины комплекса C, что и требовалось доказать.
Ср. Porta-Shaul-Yekutieli, "On the homology of completion and torsion", Theorem 4.24, Corollary 4.28, Theorem 4.34.
Следствие 1. Пусть R-mod обозначает абелеву категорию R-модулей и R-modI-tors -- абелеву категорию R-модулей I-кручения. Тогда для любого символа * = b, +, −, ∅, abs+, abs−, co, или abs, триангулированный функтор D*(R-modI-tors) → D*(R-mod), индуцированный функтором вложения абелевых категорий R-modI-tors → R-mod, является вполне строгим.
Доказательство: в случае производных категорий с символами * = b или +, утверждение следует из известного факта, что функтор R-modI-tors → R-mod сохраняет инъективность объектов (который факт, в свою очередь, следует из леммы Артина-Риса). В общем случае лемма 1 выше, по существу, утверждает, что вопрос "имеет конечную гомологическую размерность" и в силу этого "сводится к конечным комплексам". Формальное доказательство проводится следующим образом.
Рассмотрим в R-mod полную подкатегорию R-modI-tors-adj, состоящую из всех объектов M, на которых зануляются высшие производные функторы функтора максимального подмодуля I-кручения (т.е., Hi(C(M)) = 0 для i>0). Полная подкатегория R-modI-tors-adj ⊂ R-mod замкнута относительно расширений, коядер вложений, и бесконечных прямых сумм; и всякий R-модуль допускает конечную правую резольвенту равномерно ограниченной длины, составленную из объектов R-modI-tors-adj. Таким образом, для любого символа * из нашего списка естественный функтор D*(R-modI-tors-adj) → D*(R-mod) является эквивалентностью триангулированных категорий.
Используя комплексы объектов из R-modI-tors-adj в качестве резольвент, можно, таким образом, построить правый производный функтор функтора максимального подмодуля I-кручения, действующий из категории D*(R-mod) в категорию D*(R-modI-tors). Как и всякий производный функтор в смысле Делиня, этот функтор сопряжен справа к интересующему нас функтору D*(R-modI-tors) → D*(R-mod), поскольку точный слева функтор максимального подмодуля I-кручения сопряжен справа к функтору вложения абелевых категорий.
Далее, точная подкатегория R-modI-tors-adj содержит абелеву подкатегорию R-modI-tors ⊂ R-mod (достаточно посчитать производный функтор максимального подмодуля I-кручения для R-модуля I-кручения с помощью резольвенты, составленной из инъективных R-модулей I-кручения; альтернативным образом, можно заметить, что C(M) = M для всех M ∈ R-modI-tors -- ср. [PSY, Corollary 4.32]). Так что композиция сопряженных функторов D*(R-modI-tors) → D*(R-mod) → D*(R-modI-tors) изоморфна тождественному функтору. Желаемая полная строгость отсюда немедленно следует.
P.S. Фактически, мы показали, что функторы D*(R-modI-tors) → D*(R-mod) являются вполне строгими для любого "слабо прорегулярного" в смысле [PSY] конечно-порожденного идеала I в (не обязательно нетеровом) коммутативном кольце R.
