MGM-двойственность и ко-контра соответствие

http://posic.livejournal.com/1073557.html

В простейшем виде, производное комодульно-контрамодульное соответствие -- это эквивалентность триангулированных категорий между копроизводной категорией левых комодулей и контрапроизводной категорией левых контрамодулей над одной и той же коалгеброй (или CDG-комодулей и CDG-контрамодулей над CDG-коалгеброй) над полем. В более сложных вариантах рассматриваются алгебраические структуры, соединяющие в себе черты ко/контрамодулей и обычных модулей -- "ко/контрамодули по части переменных и обычные модули вдоль остальных". В зависимости от того, каким образом происходит это "соединение" и какие экзотические производные категории рассматриваются, результаты типа производного ко-контра соответствия известны в следующих вариантах:

- для полумодулей и полуконтрамодулей над полуалгеброй ("алгеброй над коалгеброй") -- естественная эквивалентность полупроизводных ("ко/контрапроизводных вдоль переменных в коалгебре и обычных производных в дополнительном направлении) категорий
- для комодулей и контрамодулей над кокольцом ("коалгеброй над кольцом"), в случае базового кольца конечной гомологической размерности -- эквивалентность между ко- и контрапроизводными категориями
- для комодулей и контрамодулей над парой коколец над парой колец с дуализирующим комплексом, снабженным поднятием до комплекса бикомодулей -- эквивалентность между ко- и контрапроизводными категориями, зависящая от выбора дуализирующего комплекса
- для комодулей и контрамодулей над кокольцом конечной относительной гомологической размерности (в подходящем смысле) над своим базовым кольцом -- эквивалентность между обычными производными категориями

Из этих четырех вариантов, последний не рассматривался у меня пока что в сколько-нибудь общем виде (в отличие от первых трех). Единственный, кажется, прописанный пример -- это "наивное соответствие" между обычными производными категориями квазикогерентных пучков и контрагерентных копучков на квазикомпактной полуотделимой схеме (а также на произвольной нетеровой схеме). Условия на топологию схемы нужны здесь, чтобы гарантировать искомую "конечность относительной гомологической размерности".

Характерным свойством такого "наивного ко-контра соответствия" можно считать то, что оно равно применимо более-менее ко всем разновидностям экзотических производных категорий, определенным для произвольной абелевой/точной категории и не зависящим от наличия бесконечных прямых сумм или произведений. Т.е., можно с равным успехом рассматривать обычные ограниченные или неограниченные с тех или иных сторон производные категории D^b, D⁻, D⁺, D, абсолютную производную категорию D^abs, ее ограниченные сверху или снизу версии, и т.п. (Только ко- и контрапроизводные категории здесь использовать нельзя.) Причина тому, конечно, в том, что производные функторы, осуществляющие соответствие, имеют конечную гомологическую размерность. В этом как бы проявляется "наивность" этих конструкций.

Похоже, что классическая MGM-двойственность является еще одним примером такого "наивного ко-контра соответствия". Первое, что здесь приходит в голову -- поскольку речь идет об аффинной формальной схеме -- это обобщить сформулированное выше наивное соответствие между квазикогерентными пучками и контрагерентными копучками на случай формальных схем. Но обсуждавшаяся выше теория тривиализуется в случае аффинной схемы (поскольку кокольцо там описывает склейку аффинных открытых подсхем в покрытии, а в случае покрытия из одной аффинной (открытой под)схемы оно совпадает со своим базовым кольцом).

На самом деле, правильный взгляд, видимо, следующий. Аффинная нетерова формальная схема, в этом контексте -- это дополнение до открытой подсхемы в спектре нетерова кольца. MGM-двойственность получается из сравнения двух наивных соответствий между пучками и копучками -- на аффинной нетеровой схеме (тривиального) и на ее открытой подсхеме (нетривиального, если эта открытая подсхема не аффинна).

Продолжение/окончание в в следующем математическом постинге.

Интервью Льва Шлосберга (июль 2014)

http://slon.ru/russia/shlosberg-1132114.xhtml

( Сохраненный текст )

Пространство невозможного

http://pshan.livejournal.com/208271.html?thread=2897039

Не первый год уже думаю я помаленьку (не)веселую мысль, что современные политические ситуации могут лучше всего характеризоваться таким понятием, как пространство невозможного. В противоположность известному выражению "пространство возможностей", имевшему хождение в уходящую, если не совсем покинувшую уже нас, эпоху.

Скажем, что осталось невозможного во внутренней политике современной России? Невозможного в силу морально-политических или социально-психологических ограничений, я имею в виду -- не технических. С необходимостью бомбардировки Воронежа, кажется, уже все смирились.

Интересные новости из "Исламского государства Ирака и Леванта" предоставляют россыпь наглядных примеров для дальнейшего рассмотрения. Оставим в стороне принудительные массовые обрезания лиц обоего пола как восточную экзотику за рамками местной культуры. Как насчет отрубить головы всем, кто откажется принять православие? Изнасиловать всех рыжих женщин, для исправления генофонда?

Или сразу прямо из Тараканища: "Принесите-ка мне ваших детушек, я сегодня их за ужином скушаю"? Ну там, в видах экономии продуктов питания на ненужных в новой обстановке малолетних ртах. Прокатит?

Или, вот, теперь, в Западной Европе. Какие действия или события, в контексте дел еврейских и мусульманских, можно уверенно отнести сегодня к пространству невозможного? Нет, я не говорю, что таких уже сейчас совсем не осталось. Но, в общем, богатая тема.

Пространство невозможного быстро сжимается. В этом состоит, кажется, самый яркий аспект переживаемого сегодня исторического момента.

См., например, http://www.slate.com/articles/news_and_politics/foreigners/2014/08/vladimir_putin_s_troops_have_invaded_ukraine_should_we_prepare_for_war_with.html

Интервью Льва Шлосберга - II (конец августа 2014)

http://echo.msk.ru/blog/echomsk/1390332-echo/
http://pln-pskov.ru/society/179493.html

( Сохраненный текст )

MGM-двойственность и ко-контра соответствие - 2

Пусть A -- нетерово коммутативное кольцо и I -- идеал в нем. Обозначим через X аффинную схему Spec A, через U -- открытое дополнение к замкнутой подсхеме Spec A/I в Spec A, и через R -- полное топологическое кольцо lim_n R/Iⁿ в I-адической топологии, и через Z -- аффинную формальную схему Specf R.

Одно из определений модулей кручения над R -- это квазикогерентные пучки над Spec A, зануляющиеся в ограничении на U. Контрамодули над R можно определить приблизительно как контрагерентные копучки на Spec A, зануляющиеся в ограничении на U (если быть точным, то так получается не вся абелева категория R-контрамодулей, а только ее точная подкатегория контраприспособленных R-контрамодулей, но разница невелика -- всякий R-контрамодуль имеет двучленную правую резольвенту из контраприспособленных).

Пусть j: U → X обозначает естественное вложение. Тогда функтор ограничения квазикогерентных пучков j*: X-qcoh → U-qcoh, являющийся точным функтором между абелевыми категориями, имеет правый сопряженный функтор j_*: U-qcoh → X-qcoh. Аналогично, функтор ограничения контрагерентных копучков j^!: X-ctrh → U-ctrh, являющийся точным функтором между точными категориями, имеет частично определенный левый сопряженный функтор j_!: U-ctrh_clp → X-ctrh_clp, действующий между категориями "колокально проективных" контрагерентных копучков. (На самом деле, в этом конкретном случае X-ctrh_clp = X-ctrh в силу аффинности X, и по той же причине, видимо, функтор j_! можно продолжить до точного справа, в каком-то там смысле, функтора на всей точной категории U-ctrh; на точной подкатегории U-ctrh_clp ⊂ U-ctrh функтор j_! точен.)

Отметим, что функтор j_* имеет конечную гомологическую размерность. То же верно и для функтора j_!, в том смысле, что всякий контрагерентный копучок на U имеет конечную левую резольвенту (длины не больше числа открытых подсхем в аффинном покрытии схемы U) из колокально проективных копучков (на категории которых функтор j_! точен). Таким образом, более-менее для любой разновидности производной категории D, определенной для точных категорий, можно построить производные функторы Rj_*: D(U-qcoh) → D(X-qcoh) и Lj_!: D(U-ctrh) → D(X-ctrh). Эти функторы сопряжены с соответствующих разных сторон к функторам j*: D(X-qcoh) → D(U-qcoh) и j^!: D(X-ctrh) → D(U-ctrh).

Фундаментальный факт состоит в том, что "наивное ко-контра соответствие" D(U-qcoh) = D(U-ctrh) и D(X-qcoh) = D(X-ctrh) переводит функтор Rj_* в функтор Lj_!. Таким образом, индуцированные функторы обратного образа квазикогерентных пучков и контрагерентных копучков j* и j^! оказываются сопряженными, соответственно, слева и справа к одному и тому же функтору прямого образа между триангулированными категориями, связанными cо схемами U и X.

Все, сказанное в последних трех абзацах (кроме фразы в скобках) применимо к любому очень плоскому морфизму квазикомпактных полуотделимых схем в роли морфизма j. В ситуации, когда j является открытым вложением, мы знаем, что композиции j*Rj_* и j^!Lj_! суть тождественные эндофункторы на категориях D(U-qcoh) и D(U-ctrh). Теперь из сказанного следует, что полные триангулированные подкатегории -- ядра функторов ограничения j*: D(X-qcoh) → D(U-qcoh) и j^!: D(X-ctrh) → D(U-ctrh) эквивалентны между собой. "Банальное" (для аффинной схемы) "наивное соответствие" D(X-qcoh) = D(X-ctrh) не переводит эти две подкатегории одну в другую, но превращает их в два полуортогональных дополнения, с разных сторон, к одной и той же триангулированной подкатегории -- образу вполне строгого вложения Rj_* = Lj_!.

Функтор ограничения j*: X-qcoh → U-qcoh, действующий между абелевыми категориями квазикогерентных пучков, есть функтор локализации по серровской подкатегории R-модулей кручения в A-mod. Пользуясь леммой Артина-Риса, отсюда можно, наверное, вывести, что ядром индуцированного функтора между производными категориями является производная категория R-модулей кручения D(R-tors). (По крайней мере, это не вызывает сомнения в случае, когда D обозначает обычную ограниченную производную категорию D^b.) Аналогично, должен быть какой-то способ показать, что ядро индуцированного функтора j^!: D(X-ctrh) → D(U-ctrh) эквивалентно производной категории R-контрамодулей D(R-contra). Получается эквивалентность производных категорий D(R-tors) = D(R-contra), которая, видимо, и есть искомая MGM-двойственность.