![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть A -- нетерово коммутативное кольцо и I -- идеал в нем. Обозначим через X аффинную схему Spec A, через U -- открытое дополнение к замкнутой подсхеме Spec A/I в Spec A, и через R -- полное топологическое кольцо limn R/In в I-адической топологии, и через Z -- аффинную формальную схему Specf R.
Одно из определений модулей кручения над R -- это квазикогерентные пучки над Spec A, зануляющиеся в ограничении на U. Контрамодули над R можно определить приблизительно как контрагерентные копучки на Spec A, зануляющиеся в ограничении на U (если быть точным, то так получается не вся абелева категория R-контрамодулей, а только ее точная подкатегория контраприспособленных R-контрамодулей, но разница невелика -- всякий R-контрамодуль имеет двучленную правую резольвенту из контраприспособленных).
Пусть j: U → X обозначает естественное вложение. Тогда функтор ограничения квазикогерентных пучков j*: X-qcoh → U-qcoh, являющийся точным функтором между абелевыми категориями, имеет правый сопряженный функтор j*: U-qcoh → X-qcoh. Аналогично, функтор ограничения контрагерентных копучков j!: X-ctrh → U-ctrh, являющийся точным функтором между точными категориями, имеет частично определенный левый сопряженный функтор j!: U-ctrhclp → X-ctrhclp, действующий между категориями "колокально проективных" контрагерентных копучков. (На самом деле, в этом конкретном случае X-ctrhclp = X-ctrh в силу аффинности X, и по той же причине, видимо, функтор j! можно продолжить до точного справа, в каком-то там смысле, функтора на всей точной категории U-ctrh; на точной подкатегории U-ctrhclp ⊂ U-ctrh функтор j! точен.)
Отметим, что функтор j* имеет конечную гомологическую размерность. То же верно и для функтора j!, в том смысле, что всякий контрагерентный копучок на U имеет конечную левую резольвенту (длины не больше числа открытых подсхем в аффинном покрытии схемы U) из колокально проективных копучков (на категории которых функтор j! точен). Таким образом, более-менее для любой разновидности производной категории D, определенной для точных категорий, можно построить производные функторы Rj*: D(U-qcoh) → D(X-qcoh) и Lj!: D(U-ctrh) → D(X-ctrh). Эти функторы сопряжены с соответствующих разных сторон к функторам j*: D(X-qcoh) → D(U-qcoh) и j!: D(X-ctrh) → D(U-ctrh).
Фундаментальный факт состоит в том, что "наивное ко-контра соответствие" D(U-qcoh) = D(U-ctrh) и D(X-qcoh) = D(X-ctrh) переводит функтор Rj* в функтор Lj!. Таким образом, индуцированные функторы обратного образа квазикогерентных пучков и контрагерентных копучков j* и j! оказываются сопряженными, соответственно, слева и справа к одному и тому же функтору прямого образа между триангулированными категориями, связанными cо схемами U и X.
Все, сказанное в последних трех абзацах (кроме фразы в скобках) применимо к любому очень плоскому морфизму квазикомпактных полуотделимых схем в роли морфизма j. В ситуации, когда j является открытым вложением, мы знаем, что композиции j*Rj* и j!Lj! суть тождественные эндофункторы на категориях D(U-qcoh) и D(U-ctrh). Теперь из сказанного следует, что полные триангулированные подкатегории -- ядра функторов ограничения j*: D(X-qcoh) → D(U-qcoh) и j!: D(X-ctrh) → D(U-ctrh) эквивалентны между собой. "Банальное" (для аффинной схемы) "наивное соответствие" D(X-qcoh) = D(X-ctrh) не переводит эти две подкатегории одну в другую, но превращает их в два полуортогональных дополнения, с разных сторон, к одной и той же триангулированной подкатегории -- образу вполне строгого вложения Rj* = Lj!.
Функтор ограничения j*: X-qcoh → U-qcoh, действующий между абелевыми категориями квазикогерентных пучков, есть функтор локализации по серровской подкатегории R-модулей кручения в A-mod. Пользуясь леммой Артина-Риса, отсюда можно, наверное, вывести, что ядром индуцированного функтора между производными категориями является производная категория R-модулей кручения D(R-tors). (По крайней мере, это не вызывает сомнения в случае, когда D обозначает обычную ограниченную производную категорию Db.) Аналогично, должен быть какой-то способ показать, что ядро индуцированного функтора j!: D(X-ctrh) → D(U-ctrh) эквивалентно производной категории R-контрамодулей D(R-contra). Получается эквивалентность производных категорий D(R-tors) = D(R-contra), которая, видимо, и есть искомая MGM-двойственность.
Одно из определений модулей кручения над R -- это квазикогерентные пучки над Spec A, зануляющиеся в ограничении на U. Контрамодули над R можно определить приблизительно как контрагерентные копучки на Spec A, зануляющиеся в ограничении на U (если быть точным, то так получается не вся абелева категория R-контрамодулей, а только ее точная подкатегория контраприспособленных R-контрамодулей, но разница невелика -- всякий R-контрамодуль имеет двучленную правую резольвенту из контраприспособленных).
Пусть j: U → X обозначает естественное вложение. Тогда функтор ограничения квазикогерентных пучков j*: X-qcoh → U-qcoh, являющийся точным функтором между абелевыми категориями, имеет правый сопряженный функтор j*: U-qcoh → X-qcoh. Аналогично, функтор ограничения контрагерентных копучков j!: X-ctrh → U-ctrh, являющийся точным функтором между точными категориями, имеет частично определенный левый сопряженный функтор j!: U-ctrhclp → X-ctrhclp, действующий между категориями "колокально проективных" контрагерентных копучков. (На самом деле, в этом конкретном случае X-ctrhclp = X-ctrh в силу аффинности X, и по той же причине, видимо, функтор j! можно продолжить до точного справа, в каком-то там смысле, функтора на всей точной категории U-ctrh; на точной подкатегории U-ctrhclp ⊂ U-ctrh функтор j! точен.)
Отметим, что функтор j* имеет конечную гомологическую размерность. То же верно и для функтора j!, в том смысле, что всякий контрагерентный копучок на U имеет конечную левую резольвенту (длины не больше числа открытых подсхем в аффинном покрытии схемы U) из колокально проективных копучков (на категории которых функтор j! точен). Таким образом, более-менее для любой разновидности производной категории D, определенной для точных категорий, можно построить производные функторы Rj*: D(U-qcoh) → D(X-qcoh) и Lj!: D(U-ctrh) → D(X-ctrh). Эти функторы сопряжены с соответствующих разных сторон к функторам j*: D(X-qcoh) → D(U-qcoh) и j!: D(X-ctrh) → D(U-ctrh).
Фундаментальный факт состоит в том, что "наивное ко-контра соответствие" D(U-qcoh) = D(U-ctrh) и D(X-qcoh) = D(X-ctrh) переводит функтор Rj* в функтор Lj!. Таким образом, индуцированные функторы обратного образа квазикогерентных пучков и контрагерентных копучков j* и j! оказываются сопряженными, соответственно, слева и справа к одному и тому же функтору прямого образа между триангулированными категориями, связанными cо схемами U и X.
Все, сказанное в последних трех абзацах (кроме фразы в скобках) применимо к любому очень плоскому морфизму квазикомпактных полуотделимых схем в роли морфизма j. В ситуации, когда j является открытым вложением, мы знаем, что композиции j*Rj* и j!Lj! суть тождественные эндофункторы на категориях D(U-qcoh) и D(U-ctrh). Теперь из сказанного следует, что полные триангулированные подкатегории -- ядра функторов ограничения j*: D(X-qcoh) → D(U-qcoh) и j!: D(X-ctrh) → D(U-ctrh) эквивалентны между собой. "Банальное" (для аффинной схемы) "наивное соответствие" D(X-qcoh) = D(X-ctrh) не переводит эти две подкатегории одну в другую, но превращает их в два полуортогональных дополнения, с разных сторон, к одной и той же триангулированной подкатегории -- образу вполне строгого вложения Rj* = Lj!.
Функтор ограничения j*: X-qcoh → U-qcoh, действующий между абелевыми категориями квазикогерентных пучков, есть функтор локализации по серровской подкатегории R-модулей кручения в A-mod. Пользуясь леммой Артина-Риса, отсюда можно, наверное, вывести, что ядром индуцированного функтора между производными категориями является производная категория R-модулей кручения D(R-tors). (По крайней мере, это не вызывает сомнения в случае, когда D обозначает обычную ограниченную производную категорию Db.) Аналогично, должен быть какой-то способ показать, что ядро индуцированного функтора j!: D(X-ctrh) → D(U-ctrh) эквивалентно производной категории R-контрамодулей D(R-contra). Получается эквивалентность производных категорий D(R-tors) = D(R-contra), которая, видимо, и есть искомая MGM-двойственность.
