Контрамодули над некоммутативными нетеровыми кольцами - 4

Пусть K -- коммутативное нетерово кольцо, I ⊂ K -- конечно-порожденный идеал, A и B -- ассоциативные K-алгебры, причем кольцо A нетерово слева, а B -- справа. Конечный комплекс A-B-бимодулей D называется дуализирующим комплексом для A и B над (K,I), если выполнены следующие условия:

(i) D является комплексом инъективных левых A-модулей и комплексом инъективных правых B-модулей;
(ii) каждый элемент D аннулируется некоторой степенью идеала I;
(iii) для любого натурального n, комплекс D(n) = D(Iⁿ) является дуализирующим комплексом для колец A/IⁿA и B/IⁿB (ср. с леммой 2 из предыдущего постинга).

Будем называть K-модулем (или A-модулем) I-кручения такой K-модуль (соответственно, A-модуль), всякий элемент которого аннулируется некоторой степенью идеала I. Аналогично, будем называть (B,I)-контрамодулем контрамодуль над I-адическим пополнением кольца B, или, что то же самое, B-модуль, являющийся (K,I)-контрамодулем.

Теорема. Выбор дуализирующего комплекса D для A и B над (K,I) индуцирует эквивалентность между копроизводной категорией левых A-модулей I-кручения и контрапроизводной категорией левых (B,I)-контрамодулей.

Доказательство: копроизводная категория отождествляется с гомотопической категорией инъективных A-модулей I-кручения; контрапроизводная -- с абсолютной производной категорией B-плоских (B,I)-контрамодулей. Используются результаты постинга http://posic.livejournal.com/934137.html и тот факт, что всякий инъективный объект в категории левых A-модулей I-кручения является одновременно инъективным левым А-модулем (лемма Артина-Риса для идеалов, порожденных центральными элементами в нетеровых кольцах). Между описанными категориями действуют функторы Hom над A из D и тензорного умножения над B на D. Для доказательства взаимной обратности используется лемма 1 из предыдущего постинга.

Относительные дуализирующие комплексы и полупроизводные категории

Пусть A → R и B → S -- гомоморфизмы ассоциативных колец, кольцо A нетерово слева, кольцо B когерентно справа, кольцо R является плоским правым A-модулем, кольцо S является плоским левым B-модулем. Пусть D -- дуализирующий комплекс для колец A и B (в смысле раздела B.4 текущей версии контрагерентного препринта).

Относительным дуализирующим комплексом для колец R и S над A и B называется конечный комплекс R-S-бимодулей D, снабженный морфизмом комплексов A-B-бимодулей D → D так, что удовлетворяются следующие условия:

(i) D является комплексом слабо R/A-относительно проективных левых R-модулей, т.е., функторы Hom_R из его членов переводят точные тройки A-инъективных левых R-модулей в точные тройки абелевых групп;
(ii) D является комплексом слабо S/B-относительно плоских правых S-модулей, т.е., функторы тензорного умножения над S на его члены переводят точные тройки B-плоских левых S-модулей в точные тройки абелевых групп;
(iii) индуцированные морфизмы комплексов R⊗_AD → D и D⊗_BS → D являются квазиизоморфизмами.

Полукопроизводной категорией левых R-модулей относительно A называется факторкатегория гомотопической категории комплексов левых R-модулей по толстой подкатегории комплексов, коацикличных над A. Полуконтрапроизводной категорией левых S-модулей относительно B называется факторкатегория гомотопической категории комплексов левых S-модулей по толстой подкатегории комплексов, контраацикличных над B.

Хотелось бы доказать следующий результат:

Теорема. Выбор относительного дуализирующего комплекса D → D для колец R и S над A и B индуцирует эквивалентность между полукопроизводной категорией левых R-модулей относительно A и полуконтрапроизводной категорией левых S-модулей относительно B.

Френдлента сообщает

что вчера исполнилось 50 лет Михаилу Щербакову. А сегодня -- 85 лет Александру Гротендику. Не решаюсь что-либо добавить к этим новостям.

Контраприспособленные контрамодули над инд-аффинной инд-нетеровой инд-схемой нильпотентного типа

Пусть R₀ ← R₁ ← R₂ ← ... -- проективная система нетеровых коммутативных колец и сюръективных отображений между ними, ядра которых являются нильпотентными идеалами. Обозначим через R проективный предел lim_n R_n, рассматриваемый как топологическое кольцо (в топологии проективного предела дискретных колец R_n). Очевидно, гомоморфизмы колец R → R_n сюръективны; обозначим через I_n ⊂ R их ядра. Тогда идеалы I_n образуют базу окрестностей нуля в топологическом кольце R.

Нас интересуют контрамодули над топологическим кольцом R. Для любого R-контрамодуля P и замкнутого идеала I ⊂ R будем обозначать через I#P ⊂ P образ отображения контрадействия I[[P]] → P. Как обычно, для любого R-модуля M через IM обозначается образ отображения действия I⊗_RM → M. Для R-контрамодуля P имеет место включение IP ⊂ I#P -- вообще говоря, не являющееся равенством.

Как известно, для любого R-контрамодуля P естественное отображение в проективный предел P → lim_n P/I_n#P сюръективно (см. Semimodules, Lemma A.2.3 and Remark A.3). Будем называть R-контрамодуль P плоским, если это отображение является изоморфизмом и R/I_n-модули P/I_n#P плоские для всех n. R-контрамодуль F называется очень плоским, если он плоский и R/I_n-модули F/I_n#F очень плоские для всех n.

Лемма 0. Пусть P₀ ← P₁ ← P₂ ← ... -- проективная система R_n-модулей, в которой морфизм P_n → P_n−1 отождествляет P_n−1 с R_n−1⊗_RnP_n. Тогда если P -- R-контрамодуль lim_n P_n, то естественное отображение P → P_n отождествляет P_n с P/I_n#P. Обратно, для любого R-контрамодуля P проективная система R_n-модулей P_n = P/I_n#P удовлетворяет условию выше.

Доказательство: поскольку P_n является R_n-модулем, а P → P_n -- морфизм R-контрамодулей, ядро этого морфизма содержит I_n#P. Чтобы доказать обратное включение, рассмотрим элемент p ∈ P, принадлежащий ядру морфизма P → P_n. Образ элемента p в P_n+1 принадлежит (I_n/I_n+1)P_n+1; разложим этот образ соответствующим образом в конечную линейную комбинацию, поднимем входящие в нее элементы P_n+1 в P и элементы I_n/I_n+1 в I_n, и вычтем из p соответствующую конечную линейную комбинацию элементов P с коэффициентами из I_n. Образ полученного элемента p' ∈ P в P_n+1 равен нулю, так что его образ в P_n+2 принадлежит (I_n+1/I_n+2)P_n+2. Продолжая описанный процесс неограниченно, мы получим выражение элемента p в виде счетной линейной комбинации элементов из P с коэффициентами, образующими сходящуюся к нулю последовательность в I_n. Это доказывает первое утверждение леммы; второе утверждение очевидно.

Лемма 1. Если G → F -- сюръективный морфизм плоских R-контрамодулей, то его ядро H -- тоже плоский R-контрамодуль. При этом последовательности 0 → H/I_n#H → G/I_n#G → F/I_n#F → 0 точны.

Доказательство: очевидно, для любой точной тройки R-контрамодулей 0 → H → G → F → 0 имеются точные последовательности R_n-модулей 0 → H/H∩(I_n#G) → G/I_n#G → F/I_nF → 0. Если R_n-модуль F/I_nF плоский, то тензорное умножение на R_n−1 над R_n преобразует эту последовательность в аналогичную последовательность с номером n−1. С другой стороны, если отображения F → lim_n F/I_nF и G → lim_n G/I_nG являются изоморфизмами, то, переходя к проективному пределу точных последовательностей выше, мы можем заключить, что отображение H → lim_n H/H∩(I_nG) является изоморфизмом. Согласно лемме 0, из этих утверждений следует, что H∩(I_n#G) = I_n#H и последовательности 0 → H/I_n#H → G/I_n#G → F/I_n#F → 0 точны. Наконец, теперь если R_n-модули G/I_n#G плоски, то таковы же и R_n-модули H/I_n#H.

Лемма 2. Если 0 → H → G → F → 0 -- точная последовательность R-контрамодулей и R-контрамодули H и F плоские, то R-контрамодуль G тоже плоский.

Доказательство: ввиду доказательства леммы 1, достаточно показать, что отображение G → lim_n G/I_n#G является изоморфизмом. Выберем сюръективное отображение на точную тройку H → G → F из точной тройки свободных R-контрамодулей W → V → U. Пусть M → L → K -- соответствующая точная тройка ядер. Переходя к проективному пределу последовательностей 0 → L/L∩(I_n#V) → V/I_n#V → G/I_n#G → 0, получаем точную последовательность 0 → lim_n L/L∩(I_n#V) → V → lim_n G/I_n#G → 0. Очевидно, отображение L → lim_n L/I_n#L является изоморфизмом, поскольку таковым является отображение V → lim_n V/I_n#V. Таким образом, остается показать, что изоморфизмом является отображение L → lim_n L/L∩(I_n#V). Эквивалентным образом, это означает зануление производного функтора проективного предела lim_n¹ L∩(I_n#V).

Тройки I_n#W → I_n#V → I_n#U точны, поскольку тройка W → V → U расщепима. Переходя к расслоенному произведению двух точных троек над третьей (в которую они вкладываются), получаем точную последовательность 0 → M∩(I_n#W) → L∩(I_n#V) → K∩(I_n#U). Поскольку R-контрамодули U и F плоские, согласно лемме 1 имеем K∩(I_n#U) = I_n#K. Отсюда видно, что отображение L∩(I_n#V) → K∩(I_n#U) сюръективно, так что вся последовательность 0 → M∩(I_n#W) → L∩(I_n#V) → K∩(I_n#U) → 0 точна. Применяя точный справа (и в частности, в среднем члене) производный функтор lim_n¹, мы получаем искомое зануление.

Лемма 3. R-контрамодуль F является проективным объектом в R-contra тогда и только тогда, когда он плоский и R_n-модули F/I_n#F проективны (достаточно, чтобы последнее условие выполнялось для n=0).

Доказательство: стандартное рассуждение с подъемом идемпотента. (Кажется, здесь мы в первый раз пользуемся условием нильпотентности идеалов-ядер...)

Следствие. Класс очень плоских R-контрамодулей замкнут относительно расширений и ядер сюръективных морфизмов в R-contra. Проективная размерность очень плоского R-контрамодуля (как объекта R-contra) не превосходит единицы.

13.04.2013 0:15 - Update: что-то мне кажется, что в этом постинге нетеровость колец R_n не используется вообще (по крайней мере, до леммы 3). А в следующем -- используется только в форме предположения, что идеалы I_m/I_n ⊂ R_n конечно порождены. Да и коммутативность колец R_n (постольку, поскольку речь идет о плоских, а не очень плоских модулях) в этом постинге (до леммы 3), кажется, тоже не используется...