Контрамодули и модули кокручения

Хотелось бы доказать

Утверждение 1. Пусть R -- полное нетерово локальное кольцо. Тогда всякий R-контрамодуль (над топологическим кольцом R в адической топологии) является R-модулем кокручения (над R как дискретным кольцом).

В статье Енокса показано, что свободный R-контрамодуль R[[X]] является плоским R-модулем кокручения (поскольку он изоморфен Hom_R(C,C[X]), где C -- инъективная оболочка поля вычетов R, так что это Hom из инъективного R-модуля в инъективный).

Если R регулярно, то всякий R-контрамодуль имеет конечную левую свободную R-контрамодульную резольвенту, откуда утверждение 1 сразу следует. Теперь допустим, что кольцо R является факторкольцом регулярного полного нетерова локального кольца T. Тогда всякий R-контрамодуль является также T-контрамодулем, и искомое утверждение немедленно следует из леммы 2 из этого постинга -- http://posic.livejournal.com/850193.html

Нет ли более прямого рассуждения? В силу результата Рейно-Грюзона, всякий плоский R-модуль имеет конечную правую резольвенту из плоских R-модулей кокручения, так что достаточно показать, что Ext_R^>0(F,P) = 0 для плоского R-модуля кокручения F и R-контрамодуля P. Согласно Е., модуль F является произведением контрамодулей над пополнениями локализаций кольца R по его простым идеалам.

Дополнение к замкнутой точке в спектре R можно покрыть конечным числом главных аффинных открытых подмножеств, и F представится в виде конечной прямой суммы, где одно слагаемое есть R-контрамодуль, а на каждом из оставшихся обратимо действует некоторый элемент из максимального идеала кольца R. Теперь можно воспользоваться теоремой B.1.1(2a) из 1202.2697, и вопрос сводится к доказательству того, что Ext_R^>0(F,P) = 0, где F -- свободный R-контрамодуль, P -- произвольный, а Ext берется в категории всех R-модулей.

В отношении последнего, хотелось бы сформулировать общее

Утверждение 2. Пусть R -- адическое пополнение нетерова кольца S по его идеалу I. Тогда Ext между двумя R-контрамодулями Q и P, посчитанный в категории R-контрамодулей, изоморфен Ext-у между ними же, посчитанному в категории S-модулей.

Очевидно, утверждение 2 достаточно доказывать в случае, когда R-контрамодуль Q = F свободный. Теперь если I -- максимальный идеал в S, а полное нетерово локальное кольцо R является факторкольцом регулярного, у нас это уже доказано выше. В самом деле, R плоский S-модуль и F плоский R-модуль, так что F плоский S-модуль; а Q -- R-модуль кокручения, так что он также и S-модуль кокручения.

Хотелось бы доказать утверждение 2 в общем случае. Также интересно знать, всякое ли полное нетерово локальное кольцо является факторкольцом регулярного.

Наука как образ жизни

упоминалась здесь -- http://flying-bear.livejournal.com/1427659.html?thread=23304651#t23304651

Значит, так. Прийти домой уставшим после преподавательского рабочего дня, почитать интернет и завалиться на пару часов спать. Проснуться с тяжелой головой, поужинать и (чтобы не пропадать оставшимся нескольким вечерним часам) сесть дописывать статью. Написать одно доказательство, долго его редактировать и осознать наконец, что основное бекграундное утверждение слишком слабо и надо бы его усилить, а то так не нравится.

Подумать, как бы это можно было сделать, убедиться, что об этом надо было писать еще в предыдущей статье, осознать основные трудности и улечься спать. Наутро проснуться, позавтракать, подумать, ничего хорошего не придумать, и улечься в тоске обратно на диван. Несколько часов так пролежать, грустно размышляя без всякого толку, встать, пройтись и сообразить, наконец, как оно все доказывается. Провести еще час-полтора, вбивая рассуждение в компьютер в виде черновика-наброска.

Снова почувствовать себя уставшим, послоняться по квартире, написать что-нибудь в ЖЖ, вяло обдумывая мысль, как бы выйти на улицу погулять, а то никаких сил. И так далее.

Если кто-то находит привлекательным этот образ жизни, этот кто-то, наверное, имеет очень странные вкусы. Или занимается наукой совсем не так, как я; или просто не понимает, о чем говорит. Другое дело, что у меня теперь есть новая теорема, и она мне нравится (хотя результат, конечно, чисто технический). Но я не стал бы называть теоремы "образом жизни".

Контрамодули и модули кокручения - 2

Пусть S -- нетерово коммутативное кольцо, I ⊂ S -- идеал, и R -- I-адическое пополнение S, снабженное I-адической топологией.

Теорема. Для любых двух R-контрамодулей P и Q, естественное отображение Ext_R*(Q,P) → Ext_S*(Q,P), где Ext_R обозначает группы Ext в категории R-контрамодулей, а Ext_S -- в категории S-модулей, является изоморфизмом.

Доказательство: изоморфизм между группами Hom_R и Hom_S известен из теоремы B.1.1(1) статьи 1202.2697. Очевидно, достаточно доказать теорему в случае, когда Q = R[[X]] -- свободный R-контрамодуль. Поэтому желаемое утверждение вытекает из следующих двух лемм.

Лемма 1. Свободный R-контрамодуль F = R[[X]] является плоским S-модулем, и тензорное произведение S/I ⊗_S R[[X]] изоморфно свободному S/I-модулю S/I[X].

Доказательство. Поскольку идеал I конечно порожден в S и идеалы RIⁿ замкнуты в R, второе утверждение очевидно. Чтобы доказать первое, нужно установить, что для любого конечно порожденного S-модуля M имеется естественный изоморфизм M ⊗_S R[[X]] = (M⊗_SR)[[X]], где M⊗_SR есть I-адическое пополнение M, так что на нем есть естественная полная топология, позволяющая определить группу (M⊗_SR)[[X]]. Два функтора совпадают на конечно порожденных проективных модулях M, первый из них очевидно точен справа, а второй точен с обеих сторон.

Лемма 2. Для любого плоского S-модуля F, такого что S/I ⊗_S F -- проективный S/I-модуль, и любого R-контрамодуля P, имеет место зануление Ext_S^>0(F,P) = 0.

Доказательство. Заменив, при необходимости, контрамодуль P на его двучленную левую резольвенту, можно считать, что P равен проективному пределу своих фактормодулей P/IⁿP. Имеем Ext_S*(F, P/IⁿP) = Ext_S/Iⁿ(F/IⁿF, P/IⁿP). Теперь нам понадобится следующая (стандартная, насколько я понимаю)

Лемма 3. Если J -- нильпотентный идеал в ассоциативном кольце A и G -- плоский A-модуль, такой что A/J-модуль G/JG проективен, то и A-модуль G проективен.

Доказательство: использовать подъем идемпотентного эндоморфизма по модулю нильпотентного идеала и (очевидную) лемму Накаямы для такого идеала.

Итак, Ext_S^>0(F, P/IⁿP) = 0. С другой стороны, в силу того же утверждения о проективности S/Iⁿ-модуля F/IⁿF, группа Hom_S(F, P/IⁿP) = Hom_S/Iⁿ(F/IⁿF, P/IⁿP) сюръективно отображается на Hom_S/Iⁿ(F/IⁿF, P/Iⁿ⁻¹P) = Hom_S(F, P/Iⁿ⁻¹P). Теперь остается воспользоваться следующим общим результатом.

Лемма 4. Пусть A -- ассоциативное кольцо, L -- левый А-модуль, и M_n -- проективная система левых A-модулей, занумерованных натуральными числами, и сюръективных отображений между ними. Тогда если Ext_A^>0(L,M_n) = 0 для всех n, то Ext_A*(L, lim M_n) = lim* Hom_A(L,M_n). В частности, если lim¹ Hom_A(L, M_n) = 0, то Ext_A^>0(L, lim M_n) = 0.

Доказательство. Заменить А-модуль L на его левую проективную резольвенту.