Тензорное произведение контраприспособленного модуля и произвольного

Пусть R -- нетерово коммутативное кольцо. R-модуль P называется контраприспособленным, если Ext_R¹(R[s⁻¹], P) = 0 для всех s ∈ R; эквивалентным образом, для любой последовательности элементов p₀, p₁, ... ∈ P и элемента s ∈ R должна существовать последовательность элементов q₀, q₁, ... ∈ P такая, что q_i = p_i + sq_i+1 для всех i ≥ 0. Класс контраприспособленных R-модулей замкнут относительно расширений, перехода к фактормодулям, и бесконечных произведений.

Для каких R-модулей M можно утверждать, что если R-модуль P контраприспособлен, то таков также и R-модуль M ⊗_R P ?

1. Если модуль M конечно порожден и P контраприспособлен, то M ⊗_R P контраприспособлен. В самом деле, M является фактормодулем свободного модуля с конечным числом образующих, так что M ⊗_R P является фактормодулем прямой суммы конечного числа копий P.

2. Если модуль M является фактормодулем инъективного R-модуля и модуль P контраприспособлен, то модуль M ⊗_R P контраприспособлен. В самом деле, можно показать, что всякий контраприспособленный модуль является фактормодулем плоского контраприспособленного модуля. Поэтому остается заметить, что тензорное произведение инъективного модуля на плоский над нетеровым кольцом инъективно, а всякий инъективный модуль контраприспособлен.

Для каких еще R-модулей M это верно? Для контраприспособленных, может быть, например? Или даже для произвольных (что вряд ли)?

Классификация статей

Понял, в чем состоит правильная аналогия: текст про слабо искривленные алгебры -- это такой второй инсталлмент текста про два рода производных категорий. А текст про контрагерентные копучки -- это второй инсталлмент полубесконечного текста. Вот настолько одно и есть труднее и нетривиальнее другого (по крайней мере, если рассматривать полубесконечный текст без доказательства теоремы сравнения).

При этом по уровню общности контрагерентный текст представляет собой переход к частному случаю полубесконечного текста. И даже не в целом к частному случаю, а к частному случаю "двухэтажной" (в противоположность "трехэтажной") части -- той, которая посвящена кокольцам, а не полуалгебрам над кокольцами.

Потому что схема (да, в общем-то, и стэк) -- частный случай кокольца. Ну, или в любом случае квазикомпактная полуотделимая схема.

Кому объяснишь, что иной переход к частному случаю стоит того, чтобы посвятить ему месяцы работы и многие десятки страниц текста? Видимо, тому, кто понимает, что значит "максимальная естественная общность" и движение от общего к частному. Но кто ж это в наши дни понимает?