Перпендикулярность

Между прочим, вот я тут писал, под двумя замками, что задачи научные и научно-карьерные у меня приведены к виду, когда соответствующие векторы "в лучшем случае, перпендикулярны", и это выглядело, конечно, как риторическое преувеличение -- между тем, именно это сейчас наблюдается.

У меня уже опубликованы три монографии, одна из них получила довольно широкую известность. Еще один текст размером с монографию лежит, не вполне дописанный, в Архиве. Итого четыре; и вот я сижу, подготовляю черновик для пятой. Это намного больше того, что ожидается "в среднем" от математика моего возраста, по меркам любой страны. А общее количество публикаций -- т.е., прежде всего, журнальных статей -- у меня в разы меньше того, что "ожидается" (за вычетом упомянутых трех монографий, у меня остается 10 опубликованных статей в журналах, и еще на одну мне корректуру вчера прислали).

При этом, если полубесконечная книжка хотя бы выглядела как definitive treatment некоторой узкой области, в которой вообще мало кто разбирается, то тот длинный текст, что в Архиве, как и тот, к которому я сейчас пишу черновик, представляют или будут представлять собой непопулярные тексты на популярные темы. Непохоже, чтобы специалистам по категориям Фукаи были нужны мои полупроизводные категории. Непохоже и то, чтобы специалистам по квазикогерентным пучкам были нужны мои контрагерентные копучки. В особенности, в последнем случае, на вопрос "зачем" практически невозможно ответить. Зачем, в самом деле?

Если говорить о карьере, то тут все просто. "Чего больше в американцах, невежества или высокомерия?" -- гласит знаменитый вопрос. "Я понятия не имею, и мне наплевать," -- отвечает условный "американец". Вот так и я -- понятия не имею, как делаются карьеры, и заниматься этим не в состоянии. Т.е., я могу поговорить об этом, из общего любопытства к окружающему мироустройству и своему месту в нем, но в действия это не перетекает (в любом случае, не в целесообразные). Слишком скучно и неприятно. Пусть будет место мое таким, каков есть я и каков этот мир -- себя я переделывать не могу и не стану, предпочитая остаться самим собой, а с миром повозиться можно, но далеко в этом деле не продвинешься.

Что до науки, то у контрагерентной деятельности сейчас есть две цели: (1) построить "контра" вариант производной D-\Omega двойственности для неаффинных многообразий и (2) определить точную категорию контрагерентных копучков контрамодулей на нетеровой формальной схеме, как естественную категорию "полных" (скорее чем "дискретных") модульных геометрических объектов над такой формальной схемой, пусть не абелеву, но точную и в каком-то смысле "достаточно близкую к абелевой". И чтобы контрапроизводная категория у нее была определена. По-моему, это все вполне себе важные научные задачи, естественно продолжающие мою предшествовавшую деятельность; более важных (из разрешимых) у меня сейчас нет.

О чем спросить Путина

http://otkaznik.livejournal.com/373230.html

Что такое гомологическая алгебра

Вот объяснение для людей, помнящих стандартный курс дифференциального-интегрального исчисления нескольких переменных (хотя бы даже на уровне технического вуза и т.п.) Символ R обозначает, как всегда, множество всех вещественных чисел.

Задача: на области (открытом подмножестве) U ⊂ R² заданы две функции f, g: U → R. (Все функции предполагаются достаточно хорошими -- непрерывными и имеющими столько непрерывных частных производных, сколько может потребоваться.) Существует ли функция H: U → R, такая что ∂H/∂x = f и ∂H/∂y = g ?

Набросок решения: отметим, что частные производные коммутируют, ∂²H/∂x∂y = ∂²H/∂y∂x. Поэтому, чтобы задача имела решение, необходимо прежде всего, чтобы выполнялось равенство ∂f/∂y = ∂g/∂x. Это как бы базовое необходимое условие для того, чтобы постановка задачи имела смысл; без этого, и говорить не о чем.

Предположим, что это условие выполнено. Тогда оказывается, что разрешимость задачи зависит от топологии области U. Если она односвязна (попросту говоря, внутри нее нет дырок -- например, U может быть внутренностью круга, квадрата, треугольника и т.п.), задача имеет решение. Если же дырка внутри есть -- скажем, U представляет собой кольцо (область между двумя концентрическими окружностями) -- возникает препятствие.

Препятствие это имеет иной вид, чем то, что было рассмотрено выше: если нашим первым необходимым условием было равенство неких функций на U, то дополнительное условие, связанное с дыркой внутри U, имеет вид равенства неких чисел (зависящих от функций f и g). Числа эти определяются как подходящие интегралы по какой-нибудь замкнутой кривой внутри U, обходящей вокруг дырки. Если внутри U несколько дырок (скажем, U является эпсилон-окрестностью нарисованной на плоскости восьмерки -- тогда дырок внутри две), для разрешимости задачи необходимо, чтобы выполнялось по одному такому численному равенству для каждой из дырок. Более того, описанная совокупность необходимых условий является и достаточным условием.

На этом примере можно видеть базовую схему того, что называется гомологическим препятствием к разрешимости задачи. Имеется "большой" набор очевидно необходимых условий для того, чтобы задача имела смысл; после того, как эти условия выполнены, остается еще "гораздо меньший" набор "неочевидных" и "интересных" условий, который является и достаточным. Вот такие препятствия к разрешимости естественных задач, а также параметризующие эти препятствия индексы (реально, группы или векторные пространства и т.п.) изучает гомологическая алгебра.