Судьбы

Как известно, все это кончится скоро и плохо. Это суждение, кажется, сейчас почти уже и не вызывает возражений. Вопрос только в том, что именно (кончится указанным образом). Ответ: все вокруг, но не одновременно все.

Если говорить о судьбах науки, то достаточно очевидно, что ученые, выступающие в своих обычных ролях специалистов в своих конкретных областях, этих судеб не контролируют. Что бы я здесь ни доказал или ни опроверг, на судьбы математики ни в какой обозримой перспективе это не повлияет. Оставляя в стороне невероятные события вроде опровержения гипотезы Римана или вывода противоречия из аксиом арифметики Пеано -- которые могли бы сразу отправить этот поезд под откос -- все остальные наши результаты не окажут ощутимого влияния на развернувшийся процесс медленного сползания туда же.

В этих условиях я думаю, что оркестру на палубе "Титаника" подобает играть не потому, что это поможет "Титанику", а потому, что "Титаник" -- не последний из кораблей, и даже не последний из терпящих бедствие кораблей. Пусть верящие в свою способность выдумать на месте из головы способ заклеить дыру в обшивке размышляют над этим -- я про себя знаю, что для того, чтобы размышлять, мне нужно иметь исходные идеи для размышлений, и я не могу взять и вынуть их из головы по одному только поводу, что вот, в обшивке дыра и в нее хлещет вода. Ну, хлещет, да, что ж теперь поделать.

Отвлекаясь от этих метафор и возвращаясь к математике, я исходил бы из того, что за две с лишним тысячи лет своего существования она пережила не одну социальную, мировоззренческую и любую другую катастрофу какого угодно масштаба; переживет и ту, что нам теперь предстоит. Я полагаю, что хорошие математические работы приносят пользу математике, а честное и достойное поведение в социально-политических ситуациях приносит пользу общественным отношениям. Я склонен полагаться на свою способность отличать качественный продукт от халтуры в этих сферах.

Если говорить конкретно о моей научной работе последних лет, то мне кажется, что деятельность про производные категории второго рода и иже с ними представляет собой полезный вклад в расширение оснований, на которых стоит современная гомологическая алгебра, да и до какой-то степени алгебра в целом. Другое дело, что сейчас этот сюжет в уже большой степени разработан, и чувствуется усталость. Математику, который захочет овладеть этими техниками на уровне наиболее продвинутых моих работ, придется, может быть, посвятить годы жизни этому делу.

Хорошо бы написать еще подробный текст про контрагерентные копучки, и на этом можно закончить. Поискать какую-нибудь новую тему.

Неберджаевское водохранилище

http://ru.wikipedia.org/wiki/Неберджаевское_водохранилище

Если правду говорят, что водохранилище спустили через шлюзы, затопив Крымск, чтобы избежать его переполнения, которое привело бы к затоплению Новороссийска -- мы можем наблюдать в действии пример моральной дилеммы стрелочника, о которой юзер eugenegp рассказывал на последних ЛЧ в мае месяце.

О том, чтобы не предупреждать немедленно население вдоль по маршруту спускаемой волны, а вместо этого принимать меры к организации информационной блокады места уже состоявшегося бедствия, речь у нас не шла, впрочем. Это чисто местная самодеятельность, за пределами классических неразрешимых моральных проблем.

Квазикогерентные пучки кокручения

Что-то с памятью моей стало. Кажется мне, что я уже думал на нижеописанную тему, и что-то у меня не получалось -- но что? И в чем правда? И верно ли нижеизложенное?

... А, вот, наверное, где я об этом думал -- http://posic.livejournal.com/793025.html

Теорема: квазикогерентный пучок на квазикомпактной полуотделимой схеме X является пучком кокручения тогда и только тогда, когда его можно представить в виде прямого слагаемого конечно итерированного расширения прямых образов квазикогерентных пучков кокручения с вложений аффинных открытых подсхем в X. При этом можно ограничиться аффинными открытыми подсхемами, входящими в любое фиксированное аффинное открытое покрытие X, а число итераций расширения ограничено величиной, определяемой в терминах числа открытых подмножеств в этом покрытии.

Доказательство: использовать конструкцию из раздела A.1 статьи Coherent analogues... вместе с известной конструкцией плоского покрытия для модуля над кольцом, чтобы представить произвольный квазикогерентный пучок в виде факторпучка плоского пучка по конечно итерированному расширению прямых образов пучков кокручения с аффинных открытых подсхем, входящих в покрытие. Отметить, что такое расширение заведомо является пучком кокручения, ввиду сопряженности производных функторов прямого и обратного образа.

Пользуясь описанной конструкцией вместе с фактом существования вложения произвольного модуля в инъективный, вложить произвольный квазикогерентный пучок в конечно итерированное расширение, как выше, так, чтобы факторпучок был плоским. Применить эту конструкцию к произвольному пучку кокручения.

Двойственный вариант теоремы Хартсхорна

Теорема Хартсхорна: на нетеровой схеме, инъективность квазикогерентного пучка является локальным свойством. Инъективные пучки вялы.

Двойственный вариант: на нетеровой полуотделимой схеме, проективность контрагерентного копучка (по крайней мере, локально кокручения) является локальным свойством. Проективные копучки ковялы. Ковялые локально контрагерентные копучки контрагерентны.

Вроде все идеи есть, чтобы доказать двойственный вариант теоремы Хартсхорна, но что-то сейчас не получается. Вот ссылки на предшествующие постинги -- http://posic.livejournal.com/793025.html , http://posic.livejournal.com/791609.html

P.S. К третьему утверждению -- ковялые локально контрагерентные пучки имеют тривиальные высшие гомологии над аффинными подсхемами, и следовательно, контрагерентны. Более того, ковялые копучки колокально проективны, поскольку являются итерированными расширениями прямых образов с аффинных открытых подсхем.

Ко второму утверждению -- поскольку проективные копучки являются конечными прямыми суммами прямых образом проективных копучков с аффинных открытых подсхем и прямые образы сохраняют ковялость, достаточно рассмотреть случай аффинной схемы. Нужно проверить инъективность отображения коограничения с открытой подсхемы нашей аффинной схемы.

К первому утверждению -- это, по существу, значило бы, что плоский контрагерентный копучок локально кокручения проективен, плюс еще что свойство плоскости таких копучков локально. Сильные и неочевидные утверждения.