Дуализирующий комплекс для пары коколец

Пусть C -- кокольцо над кольцом A, а E -- кокольцо над кольцом B. Предположим, что C является плоским левым и правым A-модулем, E является плоским левым и правым B-модулем, кольцо A нетерово слева, кольцо B когерентно справа.

Дуализирующим комплексом для С и Е назовем тройку, состоящую из комплекса C-E-бикомодулей D, комплекса A-B-бимодулей D, и морфизма комплексов A-B-бимодулей D → D со следующими свойствами

1. D является дуализирущим комплексом для колец A и B;
2. D является конечным комплексом инъективных левых C-комодулей (если забыть правую E-струкутуру) и инъективных правых E-комодулей (если забыть левую C-структуру);
3. морфизм комплексов левых C-комодулей (с правым действием B) D → C⊗_AD, индуцированный морфизмом комплексов A-модулей D → D, является квазиизоморфизмом;
4. морфизм комплексов правых Е-комодулей (с левым действием A) D → D⊗_BE, индуцированный морфизмом комплексов B-модулей D → D, является квазиизоморфизмом.

На самом деле, нас прежде всего будет интересовать случай, когда морфизмы комплексов комодулей в п. 3-4 являются даже изоморфизмами (а не только квазиизоморфизмами), но сформулированное выше кажется естественной общностью. Хотелось бы утверждать, что в этих предположениях справедливы следующие

Лемма 1: для любого левого E-контрамодуля P, индуцированного с плоского левого B-модуля кокручения F, отображение сопряжения P → Hom_C(D, D⊙_EP) является квазиизоморфизмом конечных комплексов в точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения.

и

Лемма 2: для любого левого C-комодуля J, индуцированного с инъективного левого A-модуля I, отображение сопряжения D ⊙_E Hom_C(D,J) → J является квазиизоморфизмом конечных комплексов в абелевой категории левых C-комодулей.

Update: в самом деле, ввиду леммы 1 из следующего математического постинга, комплекс абелевых групп Hom_C(D, D⊙_EP) = Hom_C(D, D⊗_BF) квазиизоморфен комплексу Hom_C(D, C⊗_AD⊗_BF) = Hom_A(D, D⊗_BF) и далее комплексу Hom_A(D⊗_BE, D⊗_BF) = Hom_B(E, Hom_A(D, D⊗_BF)), который квазиизоморфен комплексу Hom_B(E,F) = P ввиду леммы 1 из предыдущего постинга.

Аналогично, ввиду леммы 2 из следующего математического постинга, комплекс абелевых групп D ⊙_E Hom_C(D,J) = D ⊙_E Hom_A(D,I) квазиизоморфен комплексу D ⊙_E Hom_A(D⊗_BE, I) = D ⊙_E Hom_B(E,Hom_A(D,I)) = D ⊗_B Hom_A(D,I) и далее комплексу C⊗_AD⊗_BHom_A(D,I), который квазиизоморфен комплексу C⊗_AI = J ввиду леммы 2 из предыдущего постинга.

Не то, что нужно

http://ivanov-petrov.livejournal.com/1778445.html

Точно. Взять, например, меня. ( Read more... )

Ко-контра соответствие для пары коколец с дуализирующим комплексом

Пусть C -- кокольцо над кольцом A, являющееся плоским правым A-модулем; предположим, что кольцо A нетерово слева.

Теорема 1. Копроизводная категория абелевой категории левых C-комодулей эквивалентна гомотопической категории комплексов инъективных левых C-комодулей.

Доказательство: в абелевой категории левых C-комодулей достаточно много инъективных объектов, каковыми являются прямые слагаемые комодулей, коиндуцированных с инъективных левых A-модулей. Класс инъективных левых C-комодулей замкнут относительно бесконечных прямых сумм, поскольку этим свойством обладает класс инъективных левых A-модулей (ввиду условия нетеровости на кольцо A). Из этих замечаний утверждение следует стандартным образом.

Пусть E -- кокольцо над кольцом B, являющееся плоским левым B-модулем; предположим, что кольцо B когерентно справа.

Теорема 2. Контрапроизводная категория точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения эквивалентна гомотопической категории комплексов левых E-контрамодулей, являющихся проективными объектами точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения.

Доказательство: в точной категории левых B-модулей кокручения достаточно много проективных объектов, каковыми являются плоские B-модули кокручения. Ввиду условия когерентности на кольцо B, класс плоских левых B-модулей кокручения замкнут относительно бесконечных произведений.

Отсюда следует, что в точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения достаточно много проективных объектов, каковыми являются прямые слагаемые E-контрамодулей, индуцированных с плоских B-модулей кокручения; и этот класс левых E-контрамодулей замкнут относительно бесконечных произведений. Из этих наблюдений утверждение следует стандартным образом.

Пусть теперь D = (D, D, D→D) -- дуализирующий комплекс для коколец C и E.

Лемма 1. Для любого инъективного левого C-комодуля J, комплекс левых E-контрамодулей Hom_C(D,J) состоит из E-контрамодулей, проективных по отношению к точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения.

Доказательство: речь идет о том, что E-контрамодуль Hom_C(K,J) проективен по отношению к точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения для любого Е-инъективного C-E-бикомодуля K и любого инъективного C-комодуля J. В самом деле, можно считать C-комодуль J индуцированным с инъективного A-модуля I; тогда Hom_C(K,J) = Hom_A(K,I). Далее, можно считать A-модуль I прямым слагаемым A-модуля Hom_Z(A,X) для некоторой инъективной абелевой группы X; тогда Hom_A(K,I) = Hom_Z(K,X).

Наконец, K изоморфен, как правый E-комодуль, прямому слагаемому комодуля M⊗_BE, для некоторого инъективного правого B-модуля M. Поэтому Е-контрамодуль Hom_Z(K,X) является прямым слагаемым Е-контрамодуля Hom_Z(M⊗_BE, X) = Hom_B(E,Hom_Z(M,X)). Осталось заметить, что левый B-модуль Hom_Z(M,X) является плоским модулем кокручения для любого инъективного правого B-модуля M и инъективной абелевой группы X, поскольку кольцо B когерентно справа.

Лемма 2. Для любого левого E-контрамодуля P, проективного по отношению к точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения, комплекс левых C-комодулей D⊙_EP состоит из инъективных левых C-комодулей.

Доказательство: можно считать Е-контрамодуль P индуцированным с плоского B-модуля кокручения F; тогда D⊙_EP = D⊗_BF. Принимая во внимание теорему Говорова-Лазара о плоских модулях, достаточно показать, что класс инъективных левых C-комодулей замкнут относительно прямых пределов для плоского справа кокольца C над нетеровым слева кольцом A.

Прежде всего, всякий левый C-комодуль L равен объединению своих подкомодулей, являющихся конечно порожденными A-модулями (рассмотреть конечно порожденный A-подмодуль U ⊂ L и взять полный прообраз C⊗_AU при отображении кодействия L → C⊗_AL; убедиться, что получится C-подкомодуль в L, содержащийся в U, и что L является объединением таких подкомодулей по возрастающим подмодулям U).

Пусть теперь M = lim M_α -- направленный прямой предел инъективных C-комодулей. Ввиду обычных соображений, для доказательства инъективности M достаточно показать, что функтор L → Hom_C(L,M) точен на абелевой категории левых C-комодулей L, конечно порожденных над A. Имеем Hom_C(L,M) = ker (Hom_A(L,M) → Hom_A(L,C⊗_AM)) = ker(lim Hom_A(L,M_α) → lim Hom_A(L,C⊗_AM_α)) = lim Hom_C(L,M_α), и остается сослаться на точность направленных прямых пределов абелевых групп.

Следствие. Задание дуализирующего комплекса D индуцирует эквивалентность между копроизводной категорией абелевой категории левых C-комодулей и контрапроизводной категорией точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения.

Доказательство: следует из двух теорем и двух лемм выше, и двух лемм из предыдущего математического постинга.