![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть C -- кокольцо над кольцом A, являющееся плоским правым A-модулем; предположим, что кольцо A нетерово слева.
Теорема 1. Копроизводная категория абелевой категории левых C-комодулей эквивалентна гомотопической категории комплексов инъективных левых C-комодулей.
Доказательство: в абелевой категории левых C-комодулей достаточно много инъективных объектов, каковыми являются прямые слагаемые комодулей, коиндуцированных с инъективных левых A-модулей. Класс инъективных левых C-комодулей замкнут относительно бесконечных прямых сумм, поскольку этим свойством обладает класс инъективных левых A-модулей (ввиду условия нетеровости на кольцо A). Из этих замечаний утверждение следует стандартным образом.
Пусть E -- кокольцо над кольцом B, являющееся плоским левым B-модулем; предположим, что кольцо B когерентно справа.
Теорема 2. Контрапроизводная категория точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения эквивалентна гомотопической категории комплексов левых E-контрамодулей, являющихся проективными объектами точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения.
Доказательство: в точной категории левых B-модулей кокручения достаточно много проективных объектов, каковыми являются плоские B-модули кокручения. Ввиду условия когерентности на кольцо B, класс плоских левых B-модулей кокручения замкнут относительно бесконечных произведений.
Отсюда следует, что в точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения достаточно много проективных объектов, каковыми являются прямые слагаемые E-контрамодулей, индуцированных с плоских B-модулей кокручения; и этот класс левых E-контрамодулей замкнут относительно бесконечных произведений. Из этих наблюдений утверждение следует стандартным образом.
Пусть теперь D = (D, D, D→D) -- дуализирующий комплекс для коколец C и E.
Лемма 1. Для любого инъективного левого C-комодуля J, комплекс левых E-контрамодулей HomC(D,J) состоит из E-контрамодулей, проективных по отношению к точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения.
Доказательство: речь идет о том, что E-контрамодуль HomC(K,J) проективен по отношению к точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения для любого Е-инъективного C-E-бикомодуля K и любого инъективного C-комодуля J. В самом деле, можно считать C-комодуль J индуцированным с инъективного A-модуля I; тогда HomC(K,J) = HomA(K,I). Далее, можно считать A-модуль I прямым слагаемым A-модуля HomZ(A,X) для некоторой инъективной абелевой группы X; тогда HomA(K,I) = HomZ(K,X).
Наконец, K изоморфен, как правый E-комодуль, прямому слагаемому комодуля M⊗BE, для некоторого инъективного правого B-модуля M. Поэтому Е-контрамодуль HomZ(K,X) является прямым слагаемым Е-контрамодуля HomZ(M⊗BE, X) = HomB(E,HomZ(M,X)). Осталось заметить, что левый B-модуль HomZ(M,X) является плоским модулем кокручения для любого инъективного правого B-модуля M и инъективной абелевой группы X, поскольку кольцо B когерентно справа.
Лемма 2. Для любого левого E-контрамодуля P, проективного по отношению к точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения, комплекс левых C-комодулей D⊙EP состоит из инъективных левых C-комодулей.
Доказательство: можно считать Е-контрамодуль P индуцированным с плоского B-модуля кокручения F; тогда D⊙EP = D⊗BF. Принимая во внимание теорему Говорова-Лазара о плоских модулях, достаточно показать, что класс инъективных левых C-комодулей замкнут относительно прямых пределов для плоского справа кокольца C над нетеровым слева кольцом A.
Прежде всего, всякий левый C-комодуль L равен объединению своих подкомодулей, являющихся конечно порожденными A-модулями (рассмотреть конечно порожденный A-подмодуль U ⊂ L и взять полный прообраз C⊗AU при отображении кодействия L → C⊗AL; убедиться, что получится C-подкомодуль в L, содержащийся в U, и что L является объединением таких подкомодулей по возрастающим подмодулям U).
Пусть теперь M = lim Mα -- направленный прямой предел инъективных C-комодулей. Ввиду обычных соображений, для доказательства инъективности M достаточно показать, что функтор L → HomC(L,M) точен на абелевой категории левых C-комодулей L, конечно порожденных над A. Имеем HomC(L,M) = ker (HomA(L,M) → HomA(L,C⊗AM)) = ker(lim HomA(L,Mα) → lim HomA(L,C⊗AMα)) = lim HomC(L,Mα), и остается сослаться на точность направленных прямых пределов абелевых групп.
Следствие. Задание дуализирующего комплекса D индуцирует эквивалентность между копроизводной категорией абелевой категории левых C-комодулей и контрапроизводной категорией точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения.
Доказательство: следует из двух теорем и двух лемм выше, и двух лемм из предыдущего математического постинга.
Теорема 1. Копроизводная категория абелевой категории левых C-комодулей эквивалентна гомотопической категории комплексов инъективных левых C-комодулей.
Доказательство: в абелевой категории левых C-комодулей достаточно много инъективных объектов, каковыми являются прямые слагаемые комодулей, коиндуцированных с инъективных левых A-модулей. Класс инъективных левых C-комодулей замкнут относительно бесконечных прямых сумм, поскольку этим свойством обладает класс инъективных левых A-модулей (ввиду условия нетеровости на кольцо A). Из этих замечаний утверждение следует стандартным образом.
Пусть E -- кокольцо над кольцом B, являющееся плоским левым B-модулем; предположим, что кольцо B когерентно справа.
Теорема 2. Контрапроизводная категория точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения эквивалентна гомотопической категории комплексов левых E-контрамодулей, являющихся проективными объектами точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения.
Доказательство: в точной категории левых B-модулей кокручения достаточно много проективных объектов, каковыми являются плоские B-модули кокручения. Ввиду условия когерентности на кольцо B, класс плоских левых B-модулей кокручения замкнут относительно бесконечных произведений.
Отсюда следует, что в точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения достаточно много проективных объектов, каковыми являются прямые слагаемые E-контрамодулей, индуцированных с плоских B-модулей кокручения; и этот класс левых E-контрамодулей замкнут относительно бесконечных произведений. Из этих наблюдений утверждение следует стандартным образом.
Пусть теперь D = (D, D, D→D) -- дуализирующий комплекс для коколец C и E.
Лемма 1. Для любого инъективного левого C-комодуля J, комплекс левых E-контрамодулей HomC(D,J) состоит из E-контрамодулей, проективных по отношению к точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения.
Доказательство: речь идет о том, что E-контрамодуль HomC(K,J) проективен по отношению к точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения для любого Е-инъективного C-E-бикомодуля K и любого инъективного C-комодуля J. В самом деле, можно считать C-комодуль J индуцированным с инъективного A-модуля I; тогда HomC(K,J) = HomA(K,I). Далее, можно считать A-модуль I прямым слагаемым A-модуля HomZ(A,X) для некоторой инъективной абелевой группы X; тогда HomA(K,I) = HomZ(K,X).
Наконец, K изоморфен, как правый E-комодуль, прямому слагаемому комодуля M⊗BE, для некоторого инъективного правого B-модуля M. Поэтому Е-контрамодуль HomZ(K,X) является прямым слагаемым Е-контрамодуля HomZ(M⊗BE, X) = HomB(E,HomZ(M,X)). Осталось заметить, что левый B-модуль HomZ(M,X) является плоским модулем кокручения для любого инъективного правого B-модуля M и инъективной абелевой группы X, поскольку кольцо B когерентно справа.
Лемма 2. Для любого левого E-контрамодуля P, проективного по отношению к точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения, комплекс левых C-комодулей D⊙EP состоит из инъективных левых C-комодулей.
Доказательство: можно считать Е-контрамодуль P индуцированным с плоского B-модуля кокручения F; тогда D⊙EP = D⊗BF. Принимая во внимание теорему Говорова-Лазара о плоских модулях, достаточно показать, что класс инъективных левых C-комодулей замкнут относительно прямых пределов для плоского справа кокольца C над нетеровым слева кольцом A.
Прежде всего, всякий левый C-комодуль L равен объединению своих подкомодулей, являющихся конечно порожденными A-модулями (рассмотреть конечно порожденный A-подмодуль U ⊂ L и взять полный прообраз C⊗AU при отображении кодействия L → C⊗AL; убедиться, что получится C-подкомодуль в L, содержащийся в U, и что L является объединением таких подкомодулей по возрастающим подмодулям U).
Пусть теперь M = lim Mα -- направленный прямой предел инъективных C-комодулей. Ввиду обычных соображений, для доказательства инъективности M достаточно показать, что функтор L → HomC(L,M) точен на абелевой категории левых C-комодулей L, конечно порожденных над A. Имеем HomC(L,M) = ker (HomA(L,M) → HomA(L,C⊗AM)) = ker(lim HomA(L,Mα) → lim HomA(L,C⊗AMα)) = lim HomC(L,Mα), и остается сослаться на точность направленных прямых пределов абелевых групп.
Следствие. Задание дуализирующего комплекса D индуцирует эквивалентность между копроизводной категорией абелевой категории левых C-комодулей и контрапроизводной категорией точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения.
Доказательство: следует из двух теорем и двух лемм выше, и двух лемм из предыдущего математического постинга.
