![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Пусть C -- кокольцо над кольцом A, являющееся плоским левым и правым A-модулем. Будем называть левый A-модуль K контраприспособленным, если ExtAi(C⊗A…⊗AC, K) = 0 для любого числа тензорных сомножителей C и любого i > 0. Ясно, что класс контраприспособленных A-модулей замкнут относительно расширений, коядер вложений, бесконечных произведений и взятия A-модуля HomA(C,−).
Более общим образом, удобно было бы завести какой-нибудь класс плоских левых A-модулей F, содержащий свободный A-модуль с одной образующей и замкнутый относительно ядер сюръекций и тензорного умножения на C над A слева (а также, при желании, трансфинитно-итерированных (в смысле прямого предела) расширений). Тогда класс контраприспособленных A-модулей с выписанными выше свойствами можно было бы просто определить как ExtA1-дополнительный класс к F. В любом случае, отметим, что всякий A-модуль кокручения контраприспособлен по определению.
Левые C-контрамодули, подлежащие A-модули которых контраприспособлены, образуют точную категорию с точными функторами бесконечных произведений. В нее вкладывается точная категория левых C-контрамодулей A-кокручения. При каких условиях индуцированный функтор между контрапроизводными категориями является эквивалентностью?
Из общих соображений известно, что в контрапроизводных категориях можно пользоваться конечными правыми и бесконечными левыми резольвентами.
Например, если всякий плоский левый A-модуль имеет конечную проективную размерность, то всякий левый A-модуль имеет конечную правую резольвенту из A-модулей кокручения. В этом случае эквивалентность двух контрапроизводных категорий следует из двойственного варианта теоремы 1.4(a) из статьи 1102.0261.
Более общим образом, для этого аргумента нужно, чтобы всякий контраприспособленный A-модуль имел конечную правую резольвенту из A-модулей кокручения (если всякий левый A-модуль имеет конечную левую резольвенту модулями из F, так что контраприспособленные A-модули имеют конечную инъективную размерность, аргумент упрощается).
С другой стороны, предположим, что точные категории контраприспособленных левых A-модулей и левых A-модулей кокручения -- горенштейновы (т.е. имеют совпадающие классы объектов конечной проективной и инъективной размерности, причем обе конечные размерности ограничены константой и объектов обоего типа достаточно много). Заметим прежде всего, что в этих предположениях класс объектов конечной проективной размерности в обеих категориях сохраняется функтором HomA(C,−) и бесконечными произведениями (поскольку класс инъективных A-модулей сохраняется).
Поэтому имеет смысл рассматривать левые C-контрамодули, подлежащие A-модули которых принадлежат к этим двум классам, и контрапроизводные категории этих точных категорий. Следуя рассуждению из предложения и замечания 1.5 вышеупомянутого препринта, можно показать, что эти контрапроизводные категории эквивалентны контрапроизводным категориям, соответственно, A-контраприспособленных C-контрамодулей и C-контрамодулей A-кокручения.
Теперь двойственная версия теоремы 1.4(a) позволяет отождествить обе контрапроизводные категории с контрапроизводной категорией A-инъективных C-контрамодулей, а следовательно, и между собой.
Более общим образом, удобно было бы завести какой-нибудь класс плоских левых A-модулей F, содержащий свободный A-модуль с одной образующей и замкнутый относительно ядер сюръекций и тензорного умножения на C над A слева (а также, при желании, трансфинитно-итерированных (в смысле прямого предела) расширений). Тогда класс контраприспособленных A-модулей с выписанными выше свойствами можно было бы просто определить как ExtA1-дополнительный класс к F. В любом случае, отметим, что всякий A-модуль кокручения контраприспособлен по определению.
Левые C-контрамодули, подлежащие A-модули которых контраприспособлены, образуют точную категорию с точными функторами бесконечных произведений. В нее вкладывается точная категория левых C-контрамодулей A-кокручения. При каких условиях индуцированный функтор между контрапроизводными категориями является эквивалентностью?
Из общих соображений известно, что в контрапроизводных категориях можно пользоваться конечными правыми и бесконечными левыми резольвентами.
Например, если всякий плоский левый A-модуль имеет конечную проективную размерность, то всякий левый A-модуль имеет конечную правую резольвенту из A-модулей кокручения. В этом случае эквивалентность двух контрапроизводных категорий следует из двойственного варианта теоремы 1.4(a) из статьи 1102.0261.
Более общим образом, для этого аргумента нужно, чтобы всякий контраприспособленный A-модуль имел конечную правую резольвенту из A-модулей кокручения (если всякий левый A-модуль имеет конечную левую резольвенту модулями из F, так что контраприспособленные A-модули имеют конечную инъективную размерность, аргумент упрощается).
С другой стороны, предположим, что точные категории контраприспособленных левых A-модулей и левых A-модулей кокручения -- горенштейновы (т.е. имеют совпадающие классы объектов конечной проективной и инъективной размерности, причем обе конечные размерности ограничены константой и объектов обоего типа достаточно много). Заметим прежде всего, что в этих предположениях класс объектов конечной проективной размерности в обеих категориях сохраняется функтором HomA(C,−) и бесконечными произведениями (поскольку класс инъективных A-модулей сохраняется).
Поэтому имеет смысл рассматривать левые C-контрамодули, подлежащие A-модули которых принадлежат к этим двум классам, и контрапроизводные категории этих точных категорий. Следуя рассуждению из предложения и замечания 1.5 вышеупомянутого препринта, можно показать, что эти контрапроизводные категории эквивалентны контрапроизводным категориям, соответственно, A-контраприспособленных C-контрамодулей и C-контрамодулей A-кокручения.
Теперь двойственная версия теоремы 1.4(a) позволяет отождествить обе контрапроизводные категории с контрапроизводной категорией A-инъективных C-контрамодулей, а следовательно, и между собой.
