Дуализирующий комплекс для пары коколец
Apr. 26th, 2012 01:29 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть C -- кокольцо над кольцом A, а E -- кокольцо над кольцом B. Предположим, что C является плоским левым и правым A-модулем, E является плоским левым и правым B-модулем, кольцо A нетерово слева, кольцо B когерентно справа.
Дуализирующим комплексом для С и Е назовем тройку, состоящую из комплекса C-E-бикомодулей D, комплекса A-B-бимодулей D, и морфизма комплексов A-B-бимодулей D → D со следующими свойствами
1. D является дуализирущим комплексом для колец A и B;
2. D является конечным комплексом инъективных левых C-комодулей (если забыть правую E-струкутуру) и инъективных правых E-комодулей (если забыть левую C-структуру);
3. морфизм комплексов левых C-комодулей (с правым действием B) D → C⊗AD, индуцированный морфизмом комплексов A-модулей D → D, является квазиизоморфизмом;
4. морфизм комплексов правых Е-комодулей (с левым действием A) D → D⊗BE, индуцированный морфизмом комплексов B-модулей D → D, является квазиизоморфизмом.
На самом деле, нас прежде всего будет интересовать случай, когда морфизмы комплексов комодулей в п. 3-4 являются даже изоморфизмами (а не только квазиизоморфизмами), но сформулированное выше кажется естественной общностью. Хотелось бы утверждать, что в этих предположениях справедливы следующие
Лемма 1: для любого левого E-контрамодуля P, индуцированного с плоского левого B-модуля кокручения F, отображение сопряжения P → HomC(D, D⊙EP) является квазиизоморфизмом конечных комплексов в точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения.
и
Лемма 2: для любого левого C-комодуля J, индуцированного с инъективного левого A-модуля I, отображение сопряжения D ⊙E HomC(D,J) → J является квазиизоморфизмом конечных комплексов в абелевой категории левых C-комодулей.
Update: в самом деле, ввиду леммы 1 из следующего математического постинга, комплекс абелевых групп HomC(D, D⊙EP) = HomC(D, D⊗BF) квазиизоморфен комплексу HomC(D, C⊗AD⊗BF) = HomA(D, D⊗BF) и далее комплексу HomA(D⊗BE, D⊗BF) = HomB(E, HomA(D, D⊗BF)), который квазиизоморфен комплексу HomB(E,F) = P ввиду леммы 1 из предыдущего постинга.
Аналогично, ввиду леммы 2 из следующего математического постинга, комплекс абелевых групп D ⊙E HomC(D,J) = D ⊙E HomA(D,I) квазиизоморфен комплексу D ⊙E HomA(D⊗BE, I) = D ⊙E HomB(E,HomA(D,I)) = D ⊗B HomA(D,I) и далее комплексу C⊗AD⊗BHomA(D,I), который квазиизоморфен комплексу C⊗AI = J ввиду леммы 2 из предыдущего постинга.
Дуализирующим комплексом для С и Е назовем тройку, состоящую из комплекса C-E-бикомодулей D, комплекса A-B-бимодулей D, и морфизма комплексов A-B-бимодулей D → D со следующими свойствами
1. D является дуализирущим комплексом для колец A и B;
2. D является конечным комплексом инъективных левых C-комодулей (если забыть правую E-струкутуру) и инъективных правых E-комодулей (если забыть левую C-структуру);
3. морфизм комплексов левых C-комодулей (с правым действием B) D → C⊗AD, индуцированный морфизмом комплексов A-модулей D → D, является квазиизоморфизмом;
4. морфизм комплексов правых Е-комодулей (с левым действием A) D → D⊗BE, индуцированный морфизмом комплексов B-модулей D → D, является квазиизоморфизмом.
На самом деле, нас прежде всего будет интересовать случай, когда морфизмы комплексов комодулей в п. 3-4 являются даже изоморфизмами (а не только квазиизоморфизмами), но сформулированное выше кажется естественной общностью. Хотелось бы утверждать, что в этих предположениях справедливы следующие
Лемма 1: для любого левого E-контрамодуля P, индуцированного с плоского левого B-модуля кокручения F, отображение сопряжения P → HomC(D, D⊙EP) является квазиизоморфизмом конечных комплексов в точной категории левых E-контрамодулей B-кокручения.
и
Лемма 2: для любого левого C-комодуля J, индуцированного с инъективного левого A-модуля I, отображение сопряжения D ⊙E HomC(D,J) → J является квазиизоморфизмом конечных комплексов в абелевой категории левых C-комодулей.
Update: в самом деле, ввиду леммы 1 из следующего математического постинга, комплекс абелевых групп HomC(D, D⊙EP) = HomC(D, D⊗BF) квазиизоморфен комплексу HomC(D, C⊗AD⊗BF) = HomA(D, D⊗BF) и далее комплексу HomA(D⊗BE, D⊗BF) = HomB(E, HomA(D, D⊗BF)), который квазиизоморфен комплексу HomB(E,F) = P ввиду леммы 1 из предыдущего постинга.
Аналогично, ввиду леммы 2 из следующего математического постинга, комплекс абелевых групп D ⊙E HomC(D,J) = D ⊙E HomA(D,I) квазиизоморфен комплексу D ⊙E HomA(D⊗BE, I) = D ⊙E HomB(E,HomA(D,I)) = D ⊗B HomA(D,I) и далее комплексу C⊗AD⊗BHomA(D,I), который квазиизоморфен комплексу C⊗AI = J ввиду леммы 2 из предыдущего постинга.
